Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Qa? = (Va)?-
Таким образом, если составляющие ковариантного тензора второго ранга в локально-геодезической системе координат равны (Va) ?9 то этот тензор совпадает с ковариантной производной (Va)? в любой системе координат. Теорема доказана.
Заметим, что доказательство теоремы для тензоров любого ранга аналогично.
Свойства ковариантного дифференцирования.
Пусть тензоры V и W одинакового ранга с одинаковым числом верхних и с одинаковым числом нижних индексов. Тогда:
1) (F+ W)? = (V)? +(W)?,
2) (kV)? = k(V)?, k = const;
пусть VW есть тензорное произведение тензоров V hW, тогда
3) (VW)? = (V)0W + V(W)?.
45 § 5.4. Ковариантная производная фундаментального тензора
1. Ковариантная производная ковариантного фундаментального тензора тождественно равна нулю: (gMP)a = 0.
Действительно,
(&pv)a ~~ "^oT ~~ ^apBev ~ ^vSpe = = ^L Г г L _ = п
- ^e - * OLH,v la,,M - ^e ^e -
2. Ковариантная производная смешанного фундаментального тензора тождественно равна нулю: = 0.
Действительно, с учетом того, что
м 1 1, M = ^,
имеем
(сг»\ = J^L _ ре »> . є _ рр . рР =Q
м Эха 1CKe^M ^a 1OLP r lOip
3. Ковариантная производная контравариантного фундаментального тензора тождественно равна нулю: (g?v)a = 0.
Действительно, из равенства
feS)« = (go?^a = 0
имеем
(go?)ag?tl +go?ig011)* =0.
Поскольку (go?)а = 0» т0 8o?(g^)a = 0- Свертывая последнее равенство с gv °9 получим
rgo?i^)« = 0
или
g?(g??)a = (Stiv)a =0.
Заметим, что вывод о том, что ковариантная производная фундаментального тензора тождественно равна нулю, очень часто используется при вычислениях. Из этого вывода, в частности, следует, что ^сли ковариантная производная какого-то тензора равна нулю, то ковариантная производная сопряженного ему тензора также равна нулю, например
о = goa(Va)? = (gaaVa)? = (V°)?.
§ 5.5. Параллельный перенос тензора. Абсолютное приращение тензора
Пусть задано поле некоторого тензора, для определенности, контравариантного тензора первого ранга. Тогда в каждой точке задан контра-вариантный вектор с известными составляющими. Пусть в точке x? вектор имеет составляющие Vot9 а в бесконечно близкой точке + dx? — составляющие Vа + d Vа Таким образом, dVa есть разность двух векторов, находящихся в разных (бесконечно близких) точках пространства. По-46 дха
скольку коэффициенты в формулах преобразования Vа = V? —тг яв-
Эдг
ляются функциями координат, то в разных точках пространства векторы преобразуются различно, поэтому dVa не является вектором. Действительно, формулы преобразования dVa отличаются от формул преобразования векторов:
Ъх* \ Ъх*
. дх"
= dV? —sr + V* dx*
dT
уЫ^-
Ъ2х°
dx?' dx»'dx?'
Величины dVa можно представить в виде ЪУа
dVa =
bx?
dx?.
ї\Хг
VL
Если Ъ VaIbxP = 0, то dVa = 0. Равенство нулю величин dVa/bx? зависит от двух причин: а) от самого поля, б) от выбранной системы координат. В качестве примера рассмотрим векторное поле в трехмерном евклидовом пространстве. Векторное поле называется однородным, если составляющие вектора поля в декартовых координатах не зависят от координат.
Пусть в декартовых координатах!*1} составляющие вектора поля имеют вид (рис. 3) : V1 = 0, V2 = g, V3 = = 0. Очевидно, данное поле однородно, так как Э V1 /дхк = 0. Рассмотрим это однородное векторное поле в координатах { х1} . Координаты X1
X*
Рис. 3
криволинейных цилиндрических цилиндрической системы связа-1'
ны с декартовыми координатами х посредством равенств х
^yJx1
X2 = arctg
, X3 = X3. Координаты вектора поля в новой системе коор-
динат имеют вид
V1 = g sin X2 , V2 = g
cos x
V3 = 0.
Очевидно, э Vі Ibxk' Ф 0.
Таким образом, равенство нулю величин Э Vа/bx? зависит также от выбора системы координат. Поэтому если дана произвольная система координат, то по тому, равняются нулю производные Э Va/dx? или нет, нельзя судить об однородности данного векторного поля. В случае евклидовых пространств для выяснения однородности поля переходят к декартовой системе координат, т.е. к системе координат, в которой фунда-
47 ментальный тензор (в случае трехмерного пространства) имеет вид
Если метрика галилеева, то для выяснения вопроса об однородности векторного поля переходят к галилеевой системе координат, т.е. к системе координат, в которой фундаментальный тензор (в случае четырехмерного пространства-времени) имеет вид
и убеждаются, что для однородного поля составляющие вектора поля не зависят от галилеевых координат в каждой точке области, где поле однородно.
Пусть координаты негалилеевы. Чем вызвано появление dVatl Криволинейным характером координат или тем обстоятельством, что вектор поля в точке + dx? не равен вектору поля в точке x?t). Для того чтобы узнать, изменяется вектор поля при переходе от одной точки пространства к другой, бесконечно близкой, или остается неизменным, необходимо каким-то образом перенести один из двух бесконечно близких векторов (точнее, его копию) в точку, где находится второй, и найти разность обоих векторов, относящихся теперь уже к одной и той же точке пространства. Сама операция переноса должна быть определена таким образом, чтобы в результате переноса при пользовании галилеевыми координатами компоненты переносимого вектора не изменялись. Перенос вектора (тензора), при котором его компоненты в галилеевых координатах остаются неизменными, называется параллельным переносом. Абсолютным (истинным) приращением D Vа вектора поля Vа называется разность между вектором поля Vcl + dVа в точке х^ + dx? и копией вектора поля Va9 перенесенной из точки x? в точку x? + dx? параллельно самой себе. Абсолютное приращение вектора D Vа является вектором как разность двух векторов, находящихся в одной и той же точке пространства. Если при переходе от одной точки к другой вектор поля остается неизменным (т.е. векторное поле однородно), то его абсолютное приращение равно нулю. Очевидно, абсолютное приращение вектора поля, вообще говоря, не равно dVa. Действительно, пусть векторное поле однородно. Тогда абсолютное приращение вектора поля равно нулю. Однако, как было отмечено выше, в криволинейных координатах dVa Ф 0. Если компоненты вектора в галилеевых координатах при его параллельном переносе не изменяются, то в криволинейных координатах при таком же переносе компоненты вектора, вообще говоря, изменяются. Именно поэтому в криволинейных координатах разность компонент обоих векторов после параллельного переноса одного из них в точку, где находится второй (т.е. абсолютное приращение DVol) , не будет совпадать с их разностью до переноса (т.е. с дифференциалом dVa). Таким образом, приращение dVa состоит из двух час-
