Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
CbVu \ bV?
приобретает вид
ZbVu bVu \
8V? = dV?-DVfi - + Г% VaJdxv = Va dx».
Таким образом, при параллельном переносе вектор Vfi получает приращение
Wfl =-TtllVa dx". Аналогично
= V«dxv.
На основании двух последних равенств можно показать, что при параллельном переносе векторов их скалярное произведение (а следовательно, и модуль каждого из них) не изменяется. Действительно, рассмотрим скалярное произведение VfiWfl. Поскольку векторы Vfi9 W? переносятся параллельно самим себе, то согласно определению параллельного переноса их абсолютное приращение, а следовательно, и D(V? W?) равны нулю. Поэтому приращение, получаемое при этом скаляром Vfi Wfi9 определяется равенством d (VfiWfi) = 8 (VfiWfi). Отсюда с учетом выражений для 8Vfi и 8W? имеем
d(V? Wfi) = d Vfi Wfi + VfidWfi = 8VfiWfi+Vfi8Wfi =
= (Kfi Va dxv) W" + Vfi (- Wa dxv) = 0. 4* 51 Заметим, что есть более общие метрические геометрии, например геометрия Вейля, в которой при параллельном переносе модуль вектора изменяется. Эта геометрия лежит в основе "единой теории поля", предложенной Вейлем. Однако еще Эйнштейн указал на тот факт, что будь эта теория справедливой, то был бы невозможен спектральный анализ, так как спектры химических элементов зависели бы от их прошлого. Это привело бы к различию спектров атомов одного и того же химического элемента, находящегося, например, на Земле и на Солнце.
§ 5.6. Вычисление дивергенции в криволинейных координатах
В галилеевых координатах дивергенция вектора Vа определяется как Э VаIdxc*. Аналогично определяются дивергенции тензоров второго ранга:
Bg*1" э с» a Q? bQ%
bxv ' Ъх» ' bxv ' Ъх» ' Очевидно, если тензор Q»v не симметричный ,Q»v Ф Qv», то
Э Q»v bQ»v
~Ъх» Ф B^r'
В негалилеевых координатах приведенные здесь величины не будут тензорными. Как мы выяснили (см. гл. 5), при переходе к криволинейным координатам обычные производные обобщаются как ковариантные производные. Поэтому дивергенции векторов и тензоров второго ранга в криволинейных координатах определяются как
(Va)a, (Qtiv)v, (Qliv)ll, (Qf)v, (O?„V
Аналогично определяются дивергенции тензоров ранга ги Дивергенция тензора ранга п является тензором ранга п - 1.
Напишем формулы для дивергенций вектора и тензоров второго ранга.
Равенство
bVp
(П, = —+г^к"
с учетом
Э In \J—g
pV — Vd
1 VOL
дха
приобретает вид
ЭК" ainV^i"
(Vv)v = - +-Vа =
1 } дх" дха
ЭК" Э W1T 1 Э ,_
= - + -К" =--(VvJ-g)
Эх" Эх" vCJ 9jc" ^ V g)-
Таким образом,
52 Аналогично
(Qliv)v= ^+TJJtt Gep+ =
эо;," І э _
(о'Л = -3- - а er+с Qf=-T=^- (Q-^-g) - Kfl Q-:.
ГЛАВА 6 ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
§ 6.1. Линии неизменного направления
Линией неизменного направления называется такая линия, если всякий вектор, касательный к ней в некоторой точке, остается касательным при параллельном переносе вдоль нее.
Пусть ха = ха (О есть уравнение линии неизменного направления, а = ?а(0 — касательный вектор, параллельно переносимый вдоль нее, t — вещественный параметр. В силу коллинеарности касательных векторов в каждой точке кривой имеем dx^jdt = X (О ?а(0> гДе МО ~ отличный от нуля скалярный множитель, зависящий от точки кривой. Вместо параметра t введем параметр г такой, что dr = \{t)dt. Тогда уравнение кривой принимает вид Xol = Xol (г), а вектор dxa/dr = есть параллельно переносимый касательный вектор; при этом параметр г называется каноническим, он определен с точностью до линейного преобразования. Как известно {см. §5.5), при параллельном переносе вектора его абсолютное приращение равно нулю. Таким образом, линия неизменного направления есть линия, при перемещении вдоль которой абсолютное ири-ращение касательного вектора dx^/dr равно нулю. Уравнение этой линии имеет вид
4-а-
Найдем дифференциальные уравнения линии неизменного направления: /dxa\ Zdxa\ Г Э Zdxa \ dx" T
4*7= WXrfjt 'Гк>ITГ *
Г 9 Zdxa \ dx"]dxv Zd2Xa dx" dxv\
Итак, дифференциальные уравнения линии неизменного направления
53 с каноническим параметром г имеют вид (ігха dx" dxv
Если линия неизменного направления является неизотропной, т.е. расстояние между двумя любыми бесконечно близкими точками линии отличны от нуля, то вдоль этой линии ds2 - g?V dxм dxv Ф 0 и в качестве канонического параметра г можно взять параметр s (для пространственноио-добных кривых — кривых с ds2 > 0) или параметр о (do2 = - ds2, для времениподобных кривых — кривых с ds2 < 0). Тогда дифференциальные уравнения неизотропной линии неизменного направления можно записать в виде
d2xa dx» dxv
HF *г°"ИГ 1Г (62)
Для задания линии достаточно задать три уравнения, а в (6.2) всего четыре уравнения, но из них независимых только три, так как имеет место
и у d*U d*V
соотношение ds = g?Vdxh dx . Выражение g?V- - = 1 есть первый
ds ds
интеграл уравнений (6.2).
Линии неизменного направления называются геодезическими линиями. Геодезические линии являются обобщением прямых линий. Действительно, в галилеевой системе координат из уравнений (6.1) получим d2x0lldr2 = 0. Если метрика галилеева, но координаты не галилеевы (криволинейные) , то уравнения прямой линии также имеют вид (6.1).
