Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
gl 0 gl і gii gl 3 0 A2I A 2 2 ^2 3
S3 0 S31 S32 S33 0 A3i A32 A33
= Soo
Ац A2J А31
A12
A22 A32
Aj3 A23 A33
= SooA <0.
Условие g < 0 следует из условий goo < 0 и h > 0.
Естественно возникает вопрос: изменяются ли сигнатурные условия при переходе к другой системе координат? При преобразовании координат фундаментальный определитель преобразуется по формуле g( = gj2. Если пользоваться только вещественными координатами, то якобиан преобразования J вещественный, следовательно, знак четырехмерного фундаментального определителя во всех системах отсчета отрицателен. Таким образом, четырехмерный фундаментальный определитель при преобразовании координат знака не меняет. Первые три сигнатурные условия могут быть нарушены некоторыми преобразованиями координат. Однако во всякой системе отсчета, которая может быть осуществлена с помощью реальных тел, компоненты четырехмерного метрического тензора должны удовлетворять этим четырем сигнатурным условиям.
ГЛАBA 5
КОВАРИАНТНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ 5.1. Ковариантная производная ковариантного вектора
Формулы преобразования ковариантного вектора при переходе от одной системы координат к другой, как нам уже известно, имеют вид
Ъха
к
Тогда
э7" = ~bJ Эх*' Эх"' + Уа Эх"'Эх"' • (5Л)
42 Если бы преобразования координат были линейными, то производные Э VJdx? изменялись бы как тензоры, но в общем случае они меняются не как тензоры. Ранее были получены формулы преобразования символов Кристоффеля второго рода:
Г' 0 Э2Х* \ Эх7'
rMV J^r dxv' + Ъх^'Ъх»') Ъхв
Умножая это равенство на V7 , получим
, , / Л Эх" bx? д2хв \ Эх7' , Г7 V =I Г0 - - + - I - V =
Va? Эх"' Эх" Эхм Эх" / Эх® / Л дха Эх" д2хв \
Почленно вычитая (5.2) из (5.1), получим формулы преобразования вели-
ЬУп
_а „0 Тг
чин —? - ra?Ve :
3JJL, _ г/.к' - Г— Г" v)^- ^
Эх" V dx? a? eJdxfl' дх"
bvn
Величины р - Г», Vg преобразуются как тензоры, обозначаются через
(Va)0 и называются ковариантной производной вектора Va по x?. Таким образом,
BVa „ {Va)? ~r°?Ve-
Имеются также и другие обозначения ковариантной производной вектора V?Va> Va; ?- В случае пространств четырех измерений мы будем использовать обозначение H?Va, а в случае пространств трех измерений -V0Fa.
Ковариантная производная (Va)? ковариантного вектора Voc при переходе от одной системы координат к другой преобразуется по формулам
дха dx?
TO--OU- .-JJ7.
В локально-геодезической системе координат {5 } имеем
Э Va
(Va)? =
bx?
Таким образом, ковариантное дифференцирование представляет собой обобщение обычного дифференцирования.
43 § 5.2. Ковариантная производная контравариантиого вектора
ЬУа Эх"
9 Va
Выражение (Va)? =-J — Г;а Ve с учетом равенства Va = gafV{
приобретает вид
(V ч - Wl г* V - 4g«svS) ге г ( a)? ~ Эх" ~ ?a е ~ — ~ rPbtetiVs) =
bga( у 9 Ff „
Wf If _ Э?о? _ og?i ^iAvt = Sat Эх" 2 V Эх" Эх" Эх" ЬхЧ 3F* , 9F?
= gaS U + T?i-a =gat ^ + ga^ve =
Таким образом,
СVj9 = + г|6г).
Свертывая это равенство почленно с goa, получим 9 FCT
Ковариантная производная (Ka)j3 есть тензор второго ранга. Слева стоит смешанный тензор второго ранга, значит, справа также стоит смешанный тензор второго ранга. Итак, по определению
dva
(П" - - r-„v,
где (Vа)? есть ковариантная производная контравариантиого вектора Vа. Ковариантная производная контравариантиого вектора представляет собой смешанный тензор второго ранга, для него используются также обозначения V?Va, Vа. ?.
§ 5.3. Ковариантная производная тензора
Нами была введена ковариантная производная вектора, которая является тензором второго ранга. Аналогично можно ввести ковариантную производную тензора любого ранга. Имеют место следующие формулы:
_ bQq?
Эх"
Itiir
44
(Qa?)? - ^xll - F^otQep- r^? Qae, э o'?
(бЛ = j^r - r^Q-e+ TljleQi*, ЪО' м '''v
(О • M • • • " Ч = Ct . ..? _ П' ? ' V _ _Г€ ПЦ - V >
Wct... ? >о ja lOCtUe... ? ••• 1 a?U a . . . е +
+ Гм 0 ' * " ' " + + Г" 0 • м • • • е
т о€ У а . . . ? т • • • г 1 ae^a ... /3
Ранее было отмечено, что ковариантная производная является обобщением обычной производной. Докажем теорему, утверждающую, что кроме ковариантного дифференцирования ни одно другое обобщение обычных производных невозможно.
Теорема. Если составляющие тензора второго ранга в локально-геодезической системе координат совпадают с производной вектора по координатам в этой системе, то этот тензор есть ковариантная производная данного вектора в любой другой системе координат.
Доказательство. Пусть дан вектор Va. Найдем тензор Qa? ,^который в данной точке в локально-геодезической системе координат {S} совпадает с производной вектора Va9 т.е. Qa? = dVa/dx?. С другой стороны, в локально-геодезической системе координат ковариантная производная вектора имеет вид (Va)? = bVJbx?. Вычитая эти два равенства, получим
Qa? - (Va)? = 0.
Поскольку Qa? и (Va) ? являются тензорами, то левая часть полученного равенства представляет собой тензор как разность двух тензоров. Таким образом, мы получили тензор, который в данной точке в данной системе координат (а именно в локально-геодезической системе координат) равен нулю. Однако если в данной точке в одной системе координат тензор равен нулю, то, как известно, и в любой другой системе координат в этой же точке он равен нулю. Следовательно, в данной точке в любой системе координат имеем Q a? — (Va)? = 0. Но выбранная точка произвольная, значит, во всех точках
