booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Зельманов А.Л. -> "Элементы общей теории относительности" -> 12

Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.

Зельманов А.Л., Агаков В.Г. Элементы общей теории относительности — М.: Наука , 1989. — 240 c.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка): elementiobsheyteoriiotnositelnosti1989.djvu

Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 89 >> Следующая

фундаментальный определитель. Тогда по опреде-

Soo Soi Soi Som
Sio Sil S\ 2 ¦ ¦ Sim
g = det?„„ = Sio ?2 1 Sn ¦ ¦ S2m
Sm 0 Sml Sm2 ¦ ¦ ¦ Smm

ли,**, ,...,<*,„)

2 (-1) " 1 ""&аа0 ^a1 1 •• ^OLr

OtntOL......ОС0 1 r>

(2.2)

где w = w—l, размерность пространства, W(ot0, Ot1,.. . , otm) - обшее число ииверсий, образованных всеми парами, которые можно составить из чисел Ot0, Ot1,..., Otm. Напомним определение инверсии. Пусть каждое из чисел OL0, Ck1 ,..., Otm принимает одно из значений 0, 1,. .. , т9 причем среди этих чисел нет совпадающих (в таком случае говорят, что числа Cl0 , Ot1,. .. , Otm являются некоторой перестановкой чисел 0, 1,. . ., т). Образуем ИЗ чисел Ot0, Ot1,..., Otm все возможные пары OLjOLf и будем

26говорить, что пара oliotj образует инверсию, если oli > olj при / < /. Суммирование в (2.2) производится по всем возможным перестановкам Ol0, с*!,..., olm чисел 0, 1,.. .*, т\ число таких перестановок равно п\. Из (2.2) следует, что

Э*

S (-1) ЪЬ а0,а,,... ,QLm

Nia01Oil,. ..Am) bgaQ0

ЪЬ

Sa11 • • • San

+ 2 (-1) Sa0O TT Sa2I • • • Samm •

<*„><*,, ...,OLm ° ЪЬ 2

Sa0OSa1I ' '

^Sa тт

ЪЬ

^g00 ЪЬ S0\ Som S00 dSoi ЪЬ So 2 • • Som
dSi о ЪЬ Sn Sim + Si0 ЭЯи ЪЬ Si2 . • • Sim
dg тО ЪЬ Sm 1 • • • Smm Sm 0 dSml ЪЬ Sm 2 - • • Smm

. . . +

Soo ?од

?ю Ян

¦•• So ,т — 1

SmO Sml ••• Sm,m — 1

^Sp т ЪЬ

dSim ЪЬ

^Smm

ЪЬ

Разлагая каждый из определителей в правой части этого равенства по элементам столбца, состоящего из производных по параметру, получим

bg_ _ / ъь \ dgQQ аоо + V ЪЬ ЭЯю а ЪЬ 10 +
dgOm а0т + ЪЬ т ЪЬ а1т
dga0 д*0 + aal +. . . +

ds„

ЪЬ

a mm^ =

dg am

- M^L „OL?

ЪЬ ЪЬ ЪЬ ЪЬ

уОСр

где а р — алгебраическое дополнение элемента С учетом равенства

aa? =gga? имеем ЪЬ ЪЬ **

27или

1 dg dgq?

g ъъ ъъ

ainV-g = a? ЪЪ 2 g ЪЪ

Из равенства ga?ga? = w = const следует

~ъъ 8a? + ~JT =

С учетом этого

Э1 nVT 1 dga?

ЪЪ 2ga? ЪЪ

ГЛАВА З СИМВОЛЫ КРИСТОФФЕЛЯ

§ 3.1. Символы Кристоффеля первого рода

Согласно формулам преобразований тензоров при переходе от одной системы координат к другой имеем

, _ Ъха Ъх^

Возьмем производную по xа : bg'?v _ dga? Эхе Эх" dx?

дхс дхє дх"' Эх"' дх"'

/ д2ха dx? Эх" Э2х" \

+ Sa? (-:-г -г + -г -;-г) • (3.1)

Р\дхадх" дх" Эх" Эх°Эх"/

Э g'ftu

Видно, что величины -; преобразуются не как тензоры, а следова-

Эх а

тельно, таковыми не являются.

Введем величины, которые обозначим через Га0>е. По определению

г = I (!!SSL + Oga?\

ia?'e * 2 V Эх" эх" " W

Величины Va?f€ называются символами Кристоффеля первого рода. За-28метим, что

dg?e

ra?,e + rae,? ^a

dgae

В случае п измерений разных символов Кристоффеля первого рода всего ?n2{n + 1). Вместо того чтобы пользоваться формулами преобразования для производных от gup, лучше пользоваться формулами преобразования для символов Кристоффеля - это проше.

Как же преобразуются величины Taj3 e при переходе от одной системы координат к другой? Из равенства

1 / bgvo ^ца Эgpv \

ни,о = - I--г + -;--г)

2 V Эх" bxv дха J

с учетом (3.1) получим W = - (-

_ . . ^sa? Эх* Эх" Эх" аga? дхе Эх" Эх"

* u.V.a I - . . .

Ъхе Эх"' Эх° Эх" Эхе Эх" Эх°' Эх"' dga? Эх6 Эх" Эх" \ Э*е Эх" Эх"' Эх"/ Э2х" Эх" Э2х"

Эх" Эх" Эх"' Эх" Эх" Э2х" Эх" ' Э2х"

, ga?{ Эх" ' Э2х"* Эх"
^ Эх" Эх" Э2х" I I Эх"' Эх"
дх" Эх" Эха Эх"'
Эх" у
Эх"' /

Эх" Эх" Эх" или, нужным образом переобозначив "немые" индексы,

Г'

1 L

\iV

Sa?

Sa?

_ 1 /Hrfie t ?>gа є Эх" Эх" Эхе
2 \дха Эх" Эхе / Эх"' Эх"' Эх"
Э2х" Эх" - ^<*0,е Эх" Эх" Эх6
Эх" Эх" Эх" Эх"' Эх"' Эх"
Э2х" Эх"
Эх" Эх" Эха

дх<* dx? дхє aV дхе

- Fa?, є -;--;--г + Ste

Эх" Эх" Эха 5 Эх" Эх" Эх" Итак,

_ / Эх" Эх" Э2хг \ Эхс

i?v,а - ( Га13>е - - + g t -;-- ) --

\ Эх" Эх" Эх" Эх" / Эх°

29Свертывая почленно это соотношение с дх" Idxv и учитывая равенство

Эх* Эх"' _ е = 6т"

получим

Ьх°' дх« bx? Ъ2х*

гPVtO " Г<*М -Г -Г + Snt-;-г • (3.2)

Эд^ p^dxfl Эх" Эхм Эх"

§ 3.2. Символы Кристоффеля второго рода

Символы Кристоффеля второго рода вводятся следующим образом: ^а/З ~ S riFaptTi-

По известным символам Кристоффеля второго рода Г^ легко найти символы Кристоффеля первого рода:

= SertFaPtTjSe6 = Fa?tTJgertg0e = Г^б? = Га/3>е.

Разных символов Кристоффеля второго рода всего xA п2{п + 1).

Найдем формулы преобразования символов Кристоффеля второго рода при переходе от одной системы координат к другой. Из равенства

Гт, , = gT'a'r , , ,

JLlV 6 ?V.O

с учетом

Эхт , Эха

а _ 017 ----

* * Эх0 Эх7* получим

Эхт Эха / Эх" dx? д2х? \ дх6

дхт Ъх° ( Эха Эх^ Э2хг \

tW ^ ^T ^7 + % —7)

Эхт ( дха дх? 92xf \

= ge" —Г 5U rW-Г —г + -:-г) =

* Ьхв 4V Эх" Эх" Эх" Эх" /

_ / в дх°_ Ьх^_ Ьгхв \ Э*т'

= Vе" ^7 "^7 + ^v7/ '

т, _ / 0 _Эх^ _Эх^ Э2х9 \ дхт = Vа" Эх" Эх" + Эх" Эх" ' Ъх*

Итак, Г

Эхе

Свертывая почленно с -- > получим

Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 89 >> Следующая