Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Эхт
, Эхе Эха Эх ^ Э2хе
Гт - = Pe ---+ - . (Ъ
Эхг a? Эх"' Эх"' Эх" Эх" 1 '
30 Заметим, что если бы мы ограничивались только линейными преобразованиями координат, то вторые производные в (3.2) и (3.3) тождественно равнялись бы нулю. В этом случае формулы преобразования символов Кристоффеля первого и второго родов были бы такими же, как и формулы преобразования тензоров третьего ранга. Однако в обшем случае символы Кристоффеля ведут себя не как тензоры. Величина, компоненты которой при переходе от одной системы координат к другой выражаются только через ее компоненты в старой системе и производные различных порядков от старых координат по новым и наоборот, называется геометрическим объектом. Простейшим примером геометрического объекта является обычный тензор. Символы Кристоффеля второго рода также образуют геометрический объект. Однако символы Кристоффеля первого рода не образуют геометрический объект, так как в формулы преобразования символов Кристоффеля первого рода входит фундаментальный тензор. Они образуют геометрический объект вместе с фундаментальным тензором.
Легко заметить, что если в некоторой точке значения всех частных производных bga?lbxv равны нулю, то в этой точке значения всех символов Кристоффеля первого и второго родов также равны нулю. Если в некоторой точке значения всех символов Кристоффеля первого рода равны нулю, то в этой точке равны нулю значения всех символов Кристоффеля второго рода и значения всех производных Bgaj3/bxv. Если в некоторой точке значения всех символов Кристоффеля второго рода равны нулю, то в этой точке равны нулю также значения всех символов Кристоффеля первого рода и значения всех производных B^aj3/Эх".
Система координат, в которой в некоторой точке равны нулю значения всех символов Кристоффеля второго рода, называется системой координат, геодезической в данной точке или локально- (местно-) геодезической в данной точке.
Поставим задачу — найти систему координат, геодезическую в данной точке.
Пусть в системе координат S в данной точке символы Кристоффеля отличны от нуля, т.е. (Taj3)0 =Sfc 0, а в системе координат S в этой же точке символы Кристоффеля равны нулю: (T^)0 = 0 (индекс нуль означает, что символы Кристоффеля взяты для данной точки). На основе формул преобразования символов Кристоффеля второго рода можно сформулировать следующую теорему.
Теорема. Пусть в данной точке в системе координат S величины Г^j3 имеют значения (Taj3)0. Для того чтобы в этой же точке величины Y*v
Э системе координат S обратились в нуль, необходимо и достаточно, чтобы формулы преобразования координат удовлетворяли равенствам
§ 3.3. Локально-геодезическая система координат
(3.4)
31 Доказательство. 1. Необходимость. Равенство (3.3) применительно к переходу от системы координат S{xa} к системе координат при-
обретает вид
Эхе ^ Эх* bx? Э2хе
Yt - = Г--+----П
"" Эхт a? дх» Эх" ЭхмЭх" К }
Из равенства (3.5) видно, что если (Гед)0 =0, то имеет место равенство (3.4).
2. Достаточность. Если справедливо (3.4), то из (3.5) следует, что
/дXа \ Sdx?\
(г«> ы„ ы ¦0
H^0 WVo'
/bx?\ fbxv\
или, свертывая это соотношение с ( ( ) > получим (ГД)о =
\ Э х / Q \Э X / о
= 0. Теорема доказана.
Естественно возникает вопрос: всегда ли можно найти систему координат, в которой выполняется (3.4) в данной точке, т.е. систему координат S9 геодезическую в данной точке?
Пусть формулы преобразования координат при переходе от системы координат ,S(Xa) к системе выражаются аналитическими функ-
циями, тогда координаты хе системы S в окрестности нашей точки можно разложить в ряд Тейлора:
Xe=Xe0 + (^-^(х"-^) +
1 / Э2.*е \
Введем новые координаты хе таким образом, чтобы их разложение в ряд Тейлора в окрестности данной точки имело вид
1 / д ха \ / Ъ x? \
Величины I -J можно выбрать произвольно, лишь бы они удовлет-
\ Эхм / о
Эх
воряли условию det II (- ) I Ф 0. Дифференцируя хе дважды, полу-
Il / о [І
чим равенство (3.4); следовательно, в выбранной системе координат 32 S{xa} в данной точке (Г^)0 = 0. Таким образом, всегда можно найти систему координат, геодезическую в данной точке.
Выбором системы координат можно добиться равенства нулю в данной точке всех символов Кристоффеля, но уже в другой точке в этой же системе координат они будут отличны от нуля. Вообще говоря, в общем случае никакими преобразованиями координат нельзя добиться равенства нулю символов Кристоффеля во всех точках пространства. Однако существует один тип пространства, для которого это возможно. Пространство, где существует система координат, в которой символы Кристоффеля равны нулю во всех точках пространства, назьюается плоским пространством. Галилеево пространство-время представляет собой частный случай плоского пространства.
Какой же вид имеют составляющие фундаментального тензора в системе координат 5{5са}, геодезической в данной точке? Если составляющие фундаментального тензора представляют собой аналитические функции, то их можно разложить в окрестности нашей точки в ряд Тейлора:
