Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
Возникает вопрос — как найти Aol по известным B11 и g?al Рассмотрим случай четырех измерений, ибо рассуждения не зависят от числа измерений. Тогда имеем четыре равенства:
gooA0 +goiA1 Jrg02A2 + g03A3 =B0f
g10A° + gii A1 ^gl2A2 +gi 3 A3 =B19 ^
g2oA° ^g2iA1 ^g22A2 ^g23A3 =B29
g3oA° + g31A1 +g32A2 + g33A3 =B3.
Эти равенства составляют систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными АОпределитель системы g имеет вид
go О go 1 go 2 go З
gl 0 gll gl 2 gl З
g ~ gio gll g22 g23
g30 g31 g32 g33
Определитель g = det g?V называется фундаментальным определителем.
Введем обозначение: aa? - алгебраическое дополнение фундаментального определителя, соответствующее члену С индексами ol9 ?9 т.е. элементу ga?. Таким образом, aa? есть число, равное (-1)а+^, умноженное на определитель матрицы, получаемой из матрицы g?V9 если вычеркнуть строку и столбец, содержащие элемент ga?. Из (2.1) легко получим, что
A0 = - (В0а00 + Вій10 +В2а20 +В3а30) = - Вааа0. g g
Введем обозначение ga? = аа(3/g. (Нам пока неизвестно, составляют величины ga? тензор или нет.) Тогда имеем
A0 =Bag^0.
Аналогично
At=Bag"*1.
23 Это равенство справедливо в любой системе координат, поскольку никаких предположений о выборе системы координат мы не делали. Покажем, что gafi является тензором. Действительно, выбирая тензор Aa произвольным в равенстве g?aAa = B119 мы получим произвольный вектор Bjl. Тогда из равенства ga?Ba = A? по теореме частного следует, moga? есть контравариантный тензор второго ранга. Тензор ga? называется контравариантным фундаментальным (или метрическим) тензором. Выше было показано, что g^v — симметричный тензор, значит, в определителе g можно поменять местами строки и столбцы с одинаковыми номерами, следовательно, величины аа(* симметричны относительно своих индексов, поэтому симметричен и тензор ga?: ga? = g?a.
§ 2.3. Смешанный фундаментальный тензор
На основании предыдущего параграфа можно написать следующие два равенства:
SnaAa =Bili Aol = gaaB0. Тогда
Bll^gliaAa= g?a(gaaBa) = g?agaaBa s Jj4aBa.
Здесь g^agaa — однократное внутреннее произведение ковариантного фундаментального тензора и контравариантиого фундаментального тензора. По определению
g- ° = a g<*°.
6H 6Iia6
Таким образом, B11 = StjjaBa. Однако, с другой стороны, имеет место тождество B11 = 8^B09 где 5JJ - символ Кронекера. Следовательно, -Sp)Ba = 0. В силу произвольности вектора Ba имеем
2' а = Sa
Sjl Ojl.
Поскольку есть тензор, то и g'^a есть тензор и он называется смешанным фундаментальным (или метрическим) тензором.
Векторы, которые могут быть получены друг из друга путем свертывания с фундаментальным тензором gили g?U, назьюаются сопряженными. Их обозначают одной и той же буквой. Тогда равенства Bjl = g?a Aa9 Aa = g°aBa9 которые использовались в этом параграфе, принимают вид Ац = gnaAa, Aa = gaaAa. Два сопряженных вектора Aa и Aa рассматривают как разные представления одного и того же вектора А. Говорят, что Aql есть ковариантные составляющие вектора A, Aa — контравариантные составляющие того же вектора А. Поскольку g'J1 = 6JJ, то с помощью смешанного фундаментального тензора можно написать Aa =ga?Ap.
24 § 2.4. Вычисление ga? по величинам g?V
Пусть A01 - некоторый произвольный вектор, тогда Aag"? = A?. В силу произвольности Aol вектор Ali также произвольный (контравариантный) вектор. Найдем значения Aoe по известным значениям и#. Рассмотрим случай четырех измерений. Тогда имеем
g00A0 ^g01A1 + g02A2+g03A3=A0,
g10A0 ^g11Al +g12A2 ^g13A3=A1f
g2OA0+g21A1+g22A2+g23A3=A2,
g30A0+g31A1 +g32A2 +g33A3 =A3.
Определителем этой системы является Igfiv I = det IIjm" II. Пусть aa? -алгебраическое дополнение, соответствующее элементу ga?, тогда
A0 = 7~7 (А°а00 +A1Q10 +A2Q20 +A3Q30) = -?" Aa. II Ig*I
Аналогично
fl<r«
* I^l '
С другой стороны, A01 =gaaAa, поэтому имеем
('¦¦ ~~ Tsn) А°"
Поскольку вектор Aa произвольный, то go* = a0J\gn.
Как же связаны определители | | и gl Поскольку g? = Jjixcr J0", то 110 формуле умножения определителей имеем
1*21 =I g*oi-\gav\.
Отсюда с учетом IgtjlvI = 1 получим = IgilvI'1 = J"1. Таким об-
разом,
§ 2.5. Формулы преобразования фундаментального определителя при переходе от одной системы координат к другой
По формулам "преобразования тензоров при переходе от одной системы координат к другой имеем
, _ Ъх" Ъх<* _ Ъх" Ъх^
Рассмотрим определитель g' = I J^I = (Ietgtjlv. По свойствам определи-
25 телеи имеем
\g'?v\ =
Эх<* Эх"
7 Sa?
Эх" Эх"
Эх"
Эх" Эх"
Эх"' Эх1"'
S?a где J =
Эх" Эх<* Эх"'
Эх" Эх" Эх"
= S?a
Эх" Эх" Эх"
якобиан преобразования координат:
J =
Эх0 Эх0 Эх0 Эх0
Эх0' Эх1' Эх2' Эх3'
Эх1 Эх1 Эх1 Эх1
Эх0' Эх1' Эх2' Эх3'
Эх2 Эх2 Эх2 Эх2
Эх0' Эх1 Эх2' Эх3'
Эх3 Эх3 Эх3 Эх3
Эх0' Эх1' Эх2' Эх3'
Итак, g'=gJ2. Очевидно, g = g'J' , где J' =
Эх*
§ 2.6. Производная фундаментального определителя
по произвольному аргументу Ь
Пусть g = detg?V лению определителя
