Элементы общей теории относительности - Зельманов А.Л.
ISBN 5-02-014064-3
Скачать (прямая ссылка):
S1LV = (? + (^г) +
2 \Эх Эхуо
Поскольку система координат S геодезическая в данной точке, то в этой точке символы Кристоффеля равны нулю и равны нулю также величины
( д?мЛ .
I-—-І > поэтому разложение g?V принимает вид
V Эх /0
= + \ (Jfe)0 (*~е - - >+ • • •
Таким образом, в системе координат, геодезической в данной точке, составляющие фундаментального тензора g^v в окрестности этой точки отличаются от постоянных значений только величинами второго и более высокого порядка малости. Если рассматриваемая область достаточно мала, то значения ^up можно считать постоянными с точностью до второго порядка малости.
Мы показали, что преобразованием координат можно добиться обращения символов Кристоффеля в нуль в любой наперед заданной точке. Справедливо также более сильное утверждение, согласно которому преобра-зобанием координат можно добиться обращения символов Кристоффеля в нуль вдоль любой наперед заданной несамопересекаюшейся линии, т.е. всегда можно выбрать систему координат, геодезическую вдоль данной линии.
Пусть дана несамопересекающаяся линия д. Предварительным преобразованием координат всегда можно добиться, чтобы данная линия оказалась координатной линией, например X0, т.е. чтобы Xі (/ = 1, 2,... ..., п — 1) вдоль нее оставались постоянными: Xі =Xq = const. Цусть нам удалось ввести систему координат 5{ха}, в которой вдоль этой линии 3. А.Л. Зельманов 33 символы Кристоффеля второго рода равны нулю, т.е. (Г^)а = 0. Тогда согласно (3.4) в каждой точке линии а выполняется соотношение
Э2хе
Gx^xv
Все величины суть функции, вообше говоря, всех ха, но вдоль линии а они являются функциями лишь л:0. Очевидно,
Эхс / Э хе\
С учетом того, что вдоль рассматриваемой линии -- = I -- ) >
дх" \ дх"/а
имеем
/ д2хе \ _ / д2хе \ _ Г _д_ /дхе\1 \дх"дх°/а " \дх°дх"/а~ [ Ь? Va^vJa " J a ^9*6^] _ d /дхе\
Dx0VaxfzZJ (/X0VaX^i' Тогда (3.6) приобретает вид
d / Эхе\ „ /Эхе\
Таким образом, функции (дх€/dx?)a не могут быть произвольными, они должны удовлетворять нормальной системе (3.7) п обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Как известно, решение такой системы существует при произвольных начальных условиях. Решая систему (3.7), найдем (Ь х€/bx?)a как функции X0.
Как ввести новые координаты х€ системы S{xa}9 в которой (Taj3)a = = 0, если в системе координат Slx0i) значения символов Кристоффеля вдоль линии а равны (Taj3)a? Очевидно, вдоль данной линии Ъх€ л
("'Wi5TAe.
При каждом значении X0 новые координаты х€ в окрестности нашей линии введем в виде разложения в ряд Тейлора по степеням х' - Xt0:
ту
Xe= (Xe)e+ Т7 (X1-X10) +
1 „ / Эх* \ . . .
+ 2 (Г,°)а\~д?)а (Х' ~ о) (Х' ~ Xl) + ¦¦¦ ' (38)
где (Ъ^/дх1)а удовлетворяют уравнениям (3.7).
Покажем, что при таком введении новых координат х€ символы Кристоффеля в системе координат S {і4*} вдоль линии а равны нулю: (T^j3)a =
34 = 0. Действительно, из (3.8) имеем
Х- " Эх« + ЭхЧЭх'У/ о) 1 9 Г /Эх6 \ 1 .
STt ax.' Ьх,,' \ а,'Л'
4 ^iw&l}«
Эх6 /Эх6 \ _ /9хе\ . ,
92хе 9 /Эхе\ Э Г „ /Эх6 \ 1 . , Э2хе _ а / Эх6 \
A7" = (Г*Чэх° Л + "
С учетом (3.7) вдоль (в точках) линии а соответственно имеем
V Эх03/а " 9x°J " Эх0 V 9*°Л " ( 00HaW.'
/J2X1N _ _fr„, /?
V Эх0дх' Ja ~ Эх0 V Эх' Л " ( W)a V Эх° Л '
(й7І= (г*')в(э7)«'
Таким образом, вдоль линии а
\ ЭхмЭх" Ja ^livhKdxaJa' г да согласно формулам преоб] ( 9*а № \
Тогда согласно формулам преобразования символов Кристоффеля
/Эхм\ (bxv\
свертывая это соотношение с ( —— J ( —— J , получим (Efa)e = 0.
\Ъхр/а\Ъха/2
Итак, всегда можно выбрать систему координат, геодезическую вдоль данной линии. При этом координаты х€ этой системы выражаются через координаты ха старой системы по формулам (3.8).
3*
35 ГЛАВА 4
СИСТЕМА ОТСЧЕТА И СИСТЕМА КООРДИНАТ
§ 4.1. Линии времени и пространственные сечения
Система отсчета есть воображаемое, лишенное массы, вообще говоря, произвольным образом деформирующееся тело отсчета, на котором проведена трехмерная координатная сетка, и в каждой точке тела отсчета есть прибор - часы, позволяющие фиксировать моменты времени. Предполагается, что деформация тела отсчета происходит непрерывным образом, что события локализованы в одной точке и происходят мгновенно. Координатная сетка и часы произвольные, но при переходе от одной мировой точки к другой, бесконечно близкой, все четыре координаты должны изменяться на бесконечно малые величины,, т.е. все четыре координаты изменяются непрерывно. В такой системе отсчета можно фиксировать мировые точки. Однако, чтобы иметь возможность говорить о расстоянии, нужно ввести что-то еще. В каждой точке в каждый момент времени нужно иметь идеальные масштабы и идеальные часы. Причем идеальные масштабы (линейки) в каждой точке должны быть направлены таким образом, чтобы их не надо было поворачивать. Идеальные часы отсчитывают истинное время, а координатные часы отсчитывают не истинное время, а координату времени. Теория может стать физической только тогда, когда отождествляются понятия и реальные факты. Идеальные эталоны имеют какие-то прототипы реальных эталонов. Для идеальных эталонов длины прототипом служат кристаллические решетки, а для идеальных эталонов времени прототипом служат осцилляции атомов и молекул.
