Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
рассматривать как движение вверх и вниз по периодической кривой О ABC и
т. д.
*-) По-видимому, в молекулярных кристаллах экситонный механизм миграции
энергии установлен довольно надежно.- Прим. ред.
§ 8. Пробой Зинера. Туннелирование
219
В координатном пространстве электрон, выходя из точки О, ускоряется, но
замедляется при приближении к точке А. Затем направление движения
изменяется на обратное, электрон доходит до точки В, снова ускоряется и
т. д. В точке А происходит брэгговское отражение, электрон не может
пройти в область,
а
6
Фиг. 112. Электрон, движущийся в электрическом поле (одномерная модель).
а - траектория в k-пространстве; б - путь в координатном пространстве.
расположенную за А, так как при этом его энергия оказалась бы в
запрещенной зоне. Движение электрона ограничено конечным отрезком оси х.
Пусть теперь имеется еще другая зона, низшая точка которой А"
соответствует энергии на ggap большей, чем точка А. Всегда имеется
возможность того, что электрон получит от электрического поля достаточно
большую энергию и перейдет из А в А" (фиг. 113).
Убедиться в справедливости сказанного проще всего, предположив, что
электрическое поле постоянно. Изобразим на гра-
220
Гл. 6. Динамика электронов
фике энергию еЕх, получаемую электроном от поля, как функцию координаты
х. Пусть электрон достиг точки А, потолка нижней зоны. Затем ему
полагается отразиться назад. Однако если электрон сможет пройти дальше на
расстояние
i-?g. (6.51)
до точки А", то он приобретет от поля достаточное количество энергии для
преодоления энергетической щели (фиг. 114).
По существу это задача о туннелировании. Электрон должен проникнуть
сквозь запрещенную область. В обычных задачах о туннельном эффекте (фиг.
115) барьер представляет собой область, в которой потенциал ТГ больше
полной энергии электрона <$ в пустом пространстве, и потому кинетическая
энергия электрона под барьером оказалась бы отрицательной. Согласно
квантовой механике, это означает, что волновая функция электрона пропор-
Фиг. 114. Наклон зон в сильном электрическом поле.
циональна экспоненциальному множителю с вещественным показателем:
1|5 = ^ое-рж, (6-52)
где
рг = у _ g (6.53)
Если потенциал Т зависит от х, то для вычисления вероятности
перехода можно воспользоваться методом Венцеля - Крамер-
Фиг. ИЗ. Вместо того чтобы идти к точке В, электрон может "перепрыгнуть"
запрещенную зону и попасть в точку А".
§ 8. Пробой Зинера. Туннелирование
221
са - Бриллюэна. При этом искомая вероятность, т. е. отношение
вероятностей прохождения и отражения, дается величиной
Х2
Р = ехр | - 2 j р (х) dx | , (6.54)
где Xi и х2 суть границы области барьера, а множитель 2 происходит от
возведения в квадрат волновой функции при вычислении плотности
вероятности.
Фиг. 115. Туннелирование сквозь потенциальный барьер.
Чтобы применить этот подход к нашей задаче, нужно разобраться в природе
волновой функции внутри запрещенной зоны. Этот вопрос мы раньше не
затрагивали. Уравнение в частных производных
+ = 0 (6.55)
определенно имеет решения для любых значений % даже в том случае, когда
f^(r) представляет собой периодический потенциал, подчиняющийся условию
Г (г + I) = Г (г). (6.56)
Эти решения, однако, не удовлетворяют условиям Блоха и, следовательно,
неприемлемы в качестве собственных функций, соответствующих периодическим
граничным условиям.
Ничто все же не мешает нам использовать разложение Фурье для потенциала,
как в § 2 хл. 3, и попытаться найти решение в виде
^ = 2 otk.ge*"-(r)-', (6.57)
g
222
Гл. 6. Динамика электронов
но с комплексными компонентами к. Мы придем к тому же набору линейных
уравнений, что и (3.14), с тем отличием, что теперь нужно явно писать
g?-g = -^(k~g)2, (6.58)
ибо эта величина, строго говоря, не является уже "невозмущенной
энергией", а будет всего лишь результатом действия оператора (-h2/2m) V2
на члены суммы (6.57).
Рассмотрим в одномерной модели область запрещенной зоны, т. е. случай,
когда вектор к находится вблизи границы зоны, соответствующей волновому
числу
(6.59)
(а - кратчайшее расстояние между атомными плоскостями, перпендикулярными
электрическому полю). Для свободных электронов энергия равнялась бы
величине
"•-¦аИ-И*- <6-60>
При наличии возмущения ТG мы должны, как и в случае (3.16), решить
детерминантное уравнение
(6.61)
Как и в гл. 3 [ср. (3.19) и (3.20)], при вещественном к уравнение
(6.61) не имеет решений, если энергия Щ лежит в запрещенной зоне, т.
е. в области
Ш0-\Тс\<Ш<Ш°+\Тв\- (6.62)
Но теперь будем рассматривать % как произвольный параметр и решим
уравнение относительно к. Положим
fc = ±G + x, g = g" + e, (6.63)
считая, что величины х и е малы. Тогда приближенное решение таково:
*2~-|r[e2~ij5G|2 j- (6-64>
Очевидно, что величина х станет чисто мнимой-при | е | <; | f"G |.
Значит, согласно (6.62) и (6.63), волновая функция электрона с энергией
внутри запрещенной зоны содержит вещественный экспоненциальный множитель.
