Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вторых, мы имеем здесь систему, в которой подходящим подбором
концентраций различных примесей удается вызвать переход Мотта (см. § 9
гл. 5) от изолирующего состояния к металлической проводимости.
С другой стороны, метод эффективного гамильтониана оказывается
непригодным в аналогичной задаче об уровнях, отвечающих вакансии
отрицательного иона в ионном кристалле (F-центр). Очевидно, отсутствие
отрицательного иона в электрически нейтральной решетке эквивалентно
наличию локализованного поло-
х) В силу беспорядочного расположения атомов примеси под дном
рассматриваемой узкой зоны все же могут остаться дискретные уровни,
отвечающие, например, локализации электронов у случайных скоплений атомов
примеси.- Прим. ред.
а
JT(6)^
6
208
Гл. 6. Динамика электронов
жительного заряда. В поле последнего электрон испытывает кулоновское
притяжение, описываемое формулой (6.32). Однако в данном случае
использование водородоподобных волновых функций уже не оправдано, ибо и
эффективная масса электрона проводимости т* недостаточно мала, и
диэлектрическая проницаемость вещества е недостаточно велика. В указанных
условиях электрон проводит большую часть времени в непосредственной
близо-
О (c) о (c) о
(c) (c)¦ (c) (c)
о (c)1 И * (c)
(c) о К (c) (c)
о (c) (c) (c) о
Фиг. 101. а - облако электронного заряда в F-центре; 6 - потенциальная
яма в модели точечного иона.
сти к вакансии, где его лучше всего рассматривать как обычную голую
частицу, движущуюся в электростатическом поле соседних ионов. Суммарный
потенциал их похож на яму с плоским дном и без какой-либо особенности в
центре (см. фиг. 101). На основе этой модели точечного иона, несмотря на
ее простоту, удается построить удовлетворительную количественную теорию
электронных состояний в центрах окраски (см. § 5 гл. 8). Простейшим
примером последних служит /''-центр.
§ 5. Квазиклассическая динамика
Ч решению любой задачи о движении электронов в решетке мы могли бы
приступить, начиная с эквивалентного уравнения Шредингера (6.30). Однако,
если энергия % (к) сложным образом
§ 5. Квазиклассическая динамика
209
зависит от вектора к, это могло бы привести к серьезным математическим
трудностям.
Большинства этих трудностей можно избежать, применяя принцип
соответствия. Хорошо известно, что волновые пакеты, составленные из
решений уравнения Шредингера, распространяются по тем же траекториям, что
и классические частицы, описываемые соответствующим классическим
гамильтонианом. Согласно шредингеровской формулировке квантовой механики,
оператор Гамильтона в волновом уравнении получается путем подстановки -
i/zV вместо классического импульса р в классическую функцию Гамильтона.
Обращая эту процедуру, мы можем заменить оператор -iV в эквивалентном
гамильтониане Ш (-iV) на импульс р//г и назвать получающуюся в результате
функцию эквивалентной классической функцией Гамильтона. Таким образом,
ц-
- IV) + и (г) - ш (-|-) + <и (г) = т (Г, Р). (6.34)
Наши электронные волновые пакеты будут вести себя подобно классическим
точечным частицам, которые подчиняются уравнениям движения, определяемым
этой функцией Гамильтона.
Уравнения Гамильтона записываются символически следующим образом:
д&е • д&е r = -эГ' <6-35>
Первое из них превращается в определение скорости
<в-36>
Здесь использована более привычная для нас переменная к. Уравнение (6.36)
есть не что иное, как уравнение (6.2), которое мы, наконец, вывели.
Видно, что величина
/гк = р (6.37)
действительно играет роль классического импульса; несмотря даже па то,
что эта переменная не определена однозначно, она служит для обозначения
"состояния", в котором в основном сконцентрирован волновой пакет.
Второе уравнение Гамильтона можно записать в виде
/гк=-^= -УВД. (6.38)
Но если функция 41 (г) есть, скажем, потенциальная энергия электрона в
заданном электростатическом поле, то правая часть
210
Гл. 6. Динамика электронов
(6.38) есть просто классическая сила, действующая на электрон.
Например, в электрическом поле напряженности Е мы имеем
Ак = еЕ. (6.39)
Тем самым доказан второй закон динамики (6.5). Переменная Ак играет роль
импульса в том отношении, что действие постоянной силы приводит к
увеличению Ак с постоянной скоростью. Вновь то обстоятельство, что вектор
к определен неоднозначно, не играет роли, так как только производная от
этой величины входит в уравнения.
Что касается влияния магнитного поля Н, то мы предполагаем, что
справедливо уравнение с силой Лоренца, т. е.
Ak = e(E + l[vxH]) , (6.40)
где v - скорость волнового пакета, определенная равенством
(6.36), с - скорость света. Эту формулу легко написать по
ана-
логии с (6.39), но корректный вывод ее значительно более сложен. Можно
полагать, что она сохраняет силу вплоть до очень больших магнитных полей
(см. § 8 гл. 9).
§ 6. Тензор массы. Электроны и дыркн
Воспользуемся теперь кинематическим и динамическим уравнениями (6.36) и
(6.39), дабы вычислить ускорение электрона
