Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
очищен от всех химических примесей (а это задача громадной
технологической сложности), могут еще иметь место всевозможные
перестройки атомной структуры и сложные изменения электронной плотности,
обусловленные ненасыщенными химическими связями, действием сил
изображения и пр.
Нетрудно, однако, показать, что условия на поверхности лишь незначительно
повлияют на плотность обычных блоховских состояний. Волновую функцию,
экспоненциально затухающую в области вне кристалла, можно сшить с
линейной комбинацией уже почти вырожденных блоховских волн внутри
образца; это приведет лишь к бесконечно малому сдвигу энергии. Детали
процесса сшивания будут определяться точной формой барьера, но
зоны и зоны проводимости (справа и слева от перехода) расположены в
различных точках зоны Бриллюэна. Как и в оптических процессах, испускание
и (или) поглощение фононов обеспечивает закон сохранения квазиимпульса
при таких "непрямых" переходах. С другой стороны, конечное значение
плотности туннельного тока в области в вольтамперной характеристики (фиг.
116) обусловлено в основном наличием дозволенных состояний в запрещенной
зоне. Последние могут быть связаны как с посторонними примесями, так и с
"хвостами" плотности состояний, образующимися при достаточно сильном
легировании полупроводника [16].- Прим. ред.
226
Гл. 6. Динамика электронов
это не скажется на зонной структуре и тому подобных объемных свойствах
материала.
Рассмотрим теперь электрон с энергией в запрещенной зоне. Как показано в
предыдущем параграфе, соответствующее решение уравнения Шредингера внутри
кристалла также определяется
Фиг. 117. Потенциальный барьер на поверхности и работа выхода.
в основном экспоненциальной функцией расстояния (6.52). Пусть она выбрана
убывающей в глубь образца и гладко (т. е. по величине и по градиенту)
сшита с простой экспоненциальной функцией, отвечающей электрону, который
уже вышел из образца сквозь поверхностный барьер. Тем самым мы построим
собственную функцию, удовлетворяющую общим условиям конечности и т. д. и
притом локализованную у поверхности кристалла (фиг. 118).
Здесь полезно рассмотреть следующую вспомогательную задачу. Вместо
истинного кристаллического потенциала возьмем потенциал решетки атомных
потенциалов (или псевдопотенциалов) и усредним его в каждой плоскости,
параллельной поверхности. Распределение потенциала останется
периодическим лишь в направлении оси z - в глубь кристалла, и задача,
таким образом, оказывается по существу одномерной. Будем считать, что мы
нашли точное ее решение - локализованную функцию i|j0 (z), которое
отвечает энергии ё0 в запрещенной зоне. Поскольку кристалл остается, по
предположению, тривиально периодичным в направлениях, параллельных
поверхности, теорема Блоха
(1.58) должна все еще оставаться в силе применительно к трансляциям в
плоскости ху. Следовательно, локализованное состояние
§ 9. Электроны на поверхности
227
одномерной задачи должно порождать целую зону поверхностных, или
таммовских, состояний вида
Здесь кх и ку -компоненты волнового вектора в плоскости, параллельной
поверхности. В случае почти свободных электронов, например, следует
ожидать, что соответствующий закон дисперсии будет приближенно
описываться формулой
Это выражение справедливо вблизи некоторого двумерного аналога границы
зоны в пространстве переменных кх и ку.
Фактически электронные поверхностные состояния в принципе эквивалентны
поверхностным модам колебаний решетки, рассмотренным в § 12 гл. 2. Путем
подходящего переобозначения переменных мы могли бы даже воспользоваться
выражениями (2.138) -(2.145) для описания поверхностных электронных
состояний в модели сильной связи с соответствующими граничными условиями.
Однако точные значения энергии подобных состояний определяются
конкретными характеристиками модели. Даже в одномерном случае очевидно,
что форма барьера и его положение по отношению к "ближайшему" атому
решетки будут играть решающую роль. Действительно, именно они будут
определять локальное значение градиента функции и, следовательно,
возможность гладко сшить ее с решением в объеме. В трехмерном случае
ситуация еще сложнее. Действительно, сшивание нужно провести здесь но
всей поверхности, которая никогда не бывает просто плоскостью скачка
электронного потенциала. Мы можем в принципе рассмотреть условия
возникновения подобных состояний в данной запрещенной зоне. Однако
количественный расчет энергетического спектра и других свойств
поверхностных состояний весьма затруднителен из-за их чувствительности к
влиянию особенностей структуры, химических примесей и полей
пространственного заряда. Несмотря на эту теоретическую непредсказуемость
характеристик поверхностных состояний, выяснилось, что они тем не менее
играют важную роль в физике реальных полупроводниковых устройств. Это
объясняется способностью названных состояний создавать ловушки для
носителей заряда, центры рекомбинации, каналы короткого замыкания,
