Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
когда I V. Это опять означает, что возмущение медленно меняется от точки
к точке в решетке, так что матричный элемент (6.23) исчезает из-за
ортогональности функций Ван-нье, относящихся к различным узлам. Это
приближение может привести к серьезным ошибкам, если потенциал 41 (г)
представляет собой быстро меняющуюся функцию, например поле вблизи
примеси в металле или полупроводнике.
Наконец, можно написать
ипп (г, г) = т (r)U" (6.29)
т. е. значению потенциала на l-м узле решетки. В результате уравнение
движения принимает вид
{ Шп (- iv) - ih А} /" (г, t) + °U (г) fn (г, t) = 0, (6.30)
причем здесь берутся значения г для каждого узла решетки. Естественно,
так сказать, интерполировать это уравнение между узлами решетки и считать
/п (г, t) обычной непрерывной функцией координат. Она играет роль
волновой функции электрона
б поле локального потенциала 'М (г).
Различие между уравнением (6.30) и исходным уравнением
(6.16) состоит в том, что теперь не нужно явно включать в
рассмотрение оператор сШ° - гамильтониан электрона, движущегося в поле
идеальной решетки. Этот оператор заменяется эквивалентным гамильтонианом
Шп (-iV). Зная вид функции % (к) в одной зоне, мы можем рассмотреть все
динамические эффекты, обусловленные медленно меняющимися возмущающими
полями, игнорируя потенциал решетки как таковой. Для этой цели достаточно
рассматривать электрон как свободный, но с модифицированным оператором
кинетической энергии, Шп (-iV).
Для случая обычных свободных электронов (т. е. для пустой решетки) мы уже
установили в (6.28), что уравнение (6.30) сводится к обычному уравнению
Шредингера. Если (как в полупроводнике) закон дисперсии вблизи дна зоны
проводимости остается по-прежнему параболическим, но имеет вид
(6.31)
206
Гл. 6. Динамика электронов
где т* не есть обычная масса электрона, то эквивалентный га-мильтониан
будет таким же, как и для свободного электрона, с тем лишь отличием, что
масса т. всюду заменяется на т*.
На этом основывается идея о примесных уровнях в полупроводнике. Мы уже
видели (см. § 6 гл. 4 и § 5 гл. 5), что примесь, например типа As в Ge,
создает эффективное поле
Щт)=*-(6.32)
где е - статическая диэлектрическая проницаемость среды. Если это поле
можно считать медленно меняющимся и если формула (6.31) адекватно
описывает закон дисперсии электронов вблизи дна зоны проводимости, то
эквивалентное уравнение Шредингера совпадает с уравнением для атома
водорода, за исключением того, что вместо массы электрона стоит тп* и
заряд заменяется на е/|/" ег).
При этом можно воспользоваться хорошо известной теорией атома водорода.
Примем дно зоны проводимости за нуль отсчета кинетической энергии;
связанные состояния расположены при энергиях
(6-33)
ниже дна зоны. Эти энергии, однако, невелики. Если, например, m* = т/10 и
е = 10, то энергия ионизации примесного уровня
составляет 10"3 ридберг. Таким образом, эти уровни лежат непосредственно
под дном зоны проводимости, в запрещенной зоне (фиг. 99).
Отметим также, что "боровский радиус" эквивалентной волновой функции [т.
е. огибающей функции / (г, ?)] увеличивается на множитель (me/m*) (в
нашем примере он равен примерно 100). Именно это большое значение
"боровского радиуса" оправдывает использование приближенного
гамильтониана (6.30) для описания возмущения (6.32), несмотря на то что
последнее быстро меняется вблизи точки г = 0.
Уровни, подобные (6.33), уверенно наблюдаются экспериментально,
хотя детали теории и наблюдаемые эффекты сложнее,
чем мы обрисовали здесь. Например, предположение о том, что
1) в советской литературе этот способ расчета обычно называют методом
эффективной массы.- Прим. ред.
Запрещенная зона
Фиг. 99. Примесные уровни.
§ 4. Эквивалентный гамильтониан. Примесные уровни 207
примеси не влияют друг на друга, оправдано только при очень низких
относительных концентрациях. Достаточно иметь лишь по одному атому As или
Sb на каждые 105 атомов Ge или Si, чтобы волновые функции электронов,
локализованных на соседних примесных центрах, начали перекрываться. Хотя
эти "атомы" и не находятся в узлах правильной решетки, совокупность их
подобна системе, рассмотренной методом сильной связи в § 4 гл. 3: следует
ожидать, что уровень расщепится в узкую зону (см. фиг. 100), причем
соответствующая волновая функция будет
Фиг. 100. а - перекрытие волновых функций примесных состояний; б -
примесная зона, возникающая из-за перекрытия в области запрещенных
энергий.
представлять собой линейную комбинацию отдельных атомных функций х). При
более высоких концентрациях примеси интегралы перекрытия [ср. с формулой
(3.27)] превзойдут энергию ионизации примесных уровней. Соответственно
наша узкая зона в конце концов сольется с дном зоны проводимости, от
которой фактически и отщепились вначале примесные состояния. Теория таких
примесных зон представляет интерес в двух отношениях. Во-первых, это есть
предельный случай электронных состояний в неупорядоченной системе; во-
