Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
примеси и спина рассеянного электрона (фиг. 95).
В некоторых случаях имеется небольшое добавочное s - cl-обменное
взаимодействие между спином s рассеянного электрона проводимости и полным
спином S d-электронов примеси. Как
(г) = -у- е~Хг\
(6.69)
(6.70)
где К = 2kF sin (0/2).
230
Гл. 6. Динамика электронов
будет показано в § 6 гл. 10, гамильтониан названного взаимодействия
следует писать в виде
3es-d= -~s.s. (6.7i)
Фигурирующий здесь "обменный" параметр J обычно отрицателен. Это
взаимодействие ведет к важным физическим следствиям, ибо благодаря ему
при рассеянии может произойти "переворот" направления спина падающего
электрона.
В полупроводнике возможно также рассеяние нейтральной примесью. Последняя
возникает, например, когда на допорном примесном уровне находится
электрон или дырка занимает акцепторный уровень (см. § 4 и 7 настоящей
главы). Расчет рассеяния в этом случае представляет собой серьезную
задачу, эквивалентную расчету рассеяния медленных электронов нейтральными
атомами водорода.
§ 11. Адиабатический принцип
Обратимся теперь к рассмотрению взаимодействия между электронами
проводимости и колебаниями решетки. Очевидно, это очень сложная
динамическая задача - до тех пор, пока мы не докажем, что ее можно
исследовать с помощью элементарной теории возмущений. Обоснование такого
подхода дается теоремой Борна - Оппенгеймера, к выводу которой мы сейчас
и перейдем.
Напишем оператор Гамильтона всей системы ионов и электронов. Как и в гл.
2, пусть вектор и? указывает положение ?-го иона относительно l-то узла
решетки (для простоты мы предполагаем, что элементарная ячейка содержит
одни атом); вектор г* указывает положение t-ro электрона. Полный
гамильтониан равен
-птЁттт+п., г)+с(").
I г г <j
(6.72)
Первые два члена суть операторы кинетической энергии ионов и электронов.
Следующий член описывает взаимодействие между электронами. Далее следует
потенциальная энергия электронов в поле ионов (находящихся в смещенных
положениях), и, наконец, слагаемое G(u) символически представляет
потенциальную энергию любых прямых взаимодействий между ионами.
Попытаемся в качестве собственных функций гамильтониана взять выражения
? = i|)(u, г) Ф(и), (6.73)
$ 11. Адиабатический принцип
231
где функция ф удовлетворяет уравнению Шредингера для электронов в
статической решетке с ионами I, закрепленными в точках щ:
{-hSr^f+IiJTrhjr + r (ц' г)}ф(и, r) = ge(uH(u, Г).
i ij
(6.74)
Разумеется, названная функция может - в сущности даже должна - быть
многоэлектронной; будем предполагать еще, что мы в состоянии найти
собственные значения этой задачи, Ше (и), скажем, в виде набора
квазичастичных уровней. Но эти собственные значения будут зависеть от и";
энергия электронного газа будет зависеть от положения ионов.
Подействуем теперь на эту волновую функцию оператором 3?\
^,f=-2w^,F + ^(u),F+G(u>'F=
I
= Ф(и, г) { - 2|-^ + ^(п)тС"} ф(и) -
2j 2М V 5иг ¦ dut duf J • (6.75)
i
Если можно пренебречь членами, написанными здесь в последней строке, то
полную задачу на отыскание собственных значений уравнения 36^ = мы сможем
решить, потребовав, чтобы функция Ф(и) удовлетворяла уравнению типа
уравнения Шредингера:
{-2wi^+ge(u)+G(u)}0(u) = g0(u)- <6-76)
i
Уравнение (6.76) есть уравнение для волновой функции одних ионов. Это как
раз то, что мы должны были бы написать, если бы попытались
непосредственно квантовомеханически решить задачу о динамике решетки (см.
§ 1 гл. 2), с тем исключением, что здесь к прямому взаимодействию между
ионами добавляется член Ше (и), представляющий собой полную энергию
системы электронов как функцию конфигурации ионов. Эта величина есть
адиабатический вклад электронов в энергию решетки. Он равен изменению их
энергии, обусловленному тем, что распределение электронов должно
перестраиваться в соответствии с движением решетки. В принципе этот член
зависит от истинной электронной конфигурации, например от числа
квазичастиц, возбужденных в металле при данной температуре, но
практически он очень мало чувствителен к таким деталям, и обычно его
можно вычислять в предположении, что электроны находятся в своем основном
состоянии.
232
Гл. 6. Динамика электронов
Необходимо, однако, доказать, что можно пренебречь неадиабатическими
членами в уравнении (6.75). Легко установить, что они не дают почти
никакого вклада в среднее значение энергии системы в состоянии Чг. Первый
из этих членов дает нуль, ибо он приводит к интегралам типа
Ь*1!г*~г <в-77>
где пе - полная концентрация электронов. Второй член мал потому, что даже
в худшем случае, когда электроны жестко связаны со своими ионами и
г|з (иг, гг) = т|э (гг - иг), (6.78)
он давал бы вклад
(6-79)
Это есть в точности кинетическая энергия электронов, помноженная на
отношение т!М, т. е. величина, ничтожная по сравнению с обычными
тепловыми энергиями: отношение т!М по порядку величины составляет 10~4
или 10'6.
Эта оценка, которую мы здесь едва наметили, не учитывает недиагональных
