Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
неадиабатических членов. В частности, первый из них, содержащий д^!дщ,
может вызвать переходы между электронными состояниями при движении ионов.
Это есть не что иное, как взаимодействие электронов с фононами,
которое мы рассмотрим в § 13 настоящей главы. Формула
(6.77) доказывает
лишь, что диагональные элементы неадиабатических членов равны нулю. Во
втором порядке теории возмущений мы получили бы отличные от нуля вклады в
энергию решетки от недиагональных элементов этого оператора.
Адиабатический принцип важен потому, что он позволяет отделить движение
ионов от движения электронов таким образом, что остается только
остаточное взаимодействие между электронами и фононами. Он обосновывает
наше интуитивное представление о том, что энергия электронного газа есть
существенная часть полной упругой энергии твердого тела, как и
предполагалось при рассмотрении энергии связи в металлах (§ 3 гл. 4).
После учета этого вклада в энергию мы можем рассматривать электроны и
колебания решетки как почти независимые объекты.
§ 12. Перенормировка скорости звука
233
§ 12. Перенормировка скорости звука
Адиабатический принцип приводит нас к следующему простому рассуждению.
Пусть мы рассматриваем спектр колебаний решетки, состоящей из голых
ионов. К чему приведет добавление-электронов?
Как это часто бывает, один результат можно получить сразу без всякого
труда. Длинноволновые продольные колебания решетки точечных зарядов
приводят к колебаниям плотности и к возникновению поляризационных полей,
которые можно рассчитать макроскопически, совершенно так же, как в
уравнениях (5.60) -
(5.62). Уравнения движения положительных ионов, масса которых равна М,
заряд равен Ze, а концентрация N, выглядят следующим образом:
Мх=-4nNZ2ezx. (6.80)
Это означает, что для продольной волны с волновым вектором с[ частота
оказывается равной плазменной частоте ионов
и почти не зависит от q.
Предположим теперь, что в решетку введен электронный газ. Как показано в
гл. 5, это приводит к модификации всех электростатических полей,
создаваемых другими источниками. Например, напряженность извне
приложенного электрического поля с волновым вектором q и частотой со
умножается на величину, обратную диэлектрической проницаемости е (q, со),
определенной по формуле (5.16). Это должно относиться и к силам,
обусловленным поляризацией ионной плазмы; правую часть уравнения (6.80)
нужно поделить на е (q, со), где q есть волновой вектор рассматриваемого
колебания, а со - истинная частота его. Это означает, что наблюдаемая
частота будет
Практически величина vq мала, и ею можно пренебречь в е (т. е. плазма
колеблется медленно по сравнению со всеми электронными движениями).
Используя приближенное выражение (5.21) для е (q, 0), мы получаем
4jtiVZ2e2 П/г М /
)
(6.81)
4я NZzez q2
М д2+Ьяе2ЛГ(%Е) '
(6.83)
234
Гл. 6. Динамика электронов
Другими словами, при q 0 скорость распространения колебаний продольной
акустической ветви стремится к некоторой константе. Если концентрация
свободного электронного газа есть NZ, то эта константа равна
s=(w)1/2^> <6-85)
где vF есть, как обычно, фермиевская скорость электронов. Это неплохая
оценка для скорости звука в большинстве металлов; особенно хороша она для
щелочных металлов. Формула (6.82) показывает, в частности, как возникает
эффект Кона (§ 4 гл. 5). Групповая скорость равна производной от частоты
"Vg по д, а производная от е (q, 0) имеет логарифмическую сингулярность
при Q = 2кр.
Более последовательный подход к динамике кристаллической решетки
металлов, пригодный для всех типов поляризации и для всех длин волн, мог
бы состоять в следующем:
1. Надо рассчитать электронную зонную структуру идеального кристалла.
2. Далее следует рассчитать зонную структуру того жекристалла со
смещенными ионами [это отвечало бы наличию фонона с волновым вектором q,
как в случае (2.49)].
3. Рассматривая разность полных энергий этих двух структур как
соответствующее изменение "потенциальной энергии" [типа (2.2)], надлежит
вычислить частоту данного нормального колебания.
Вся эта программа выглядит устрашающе, так как использование
адиабатического приближения оправдано лишь при условии самосогласованного
расчета каждой структуры. Допустим, однако, что мы рассматриваем
поперечные колебания, при которых локальный атомный объем остается
неизменным. Тогда большая часть энергии связи кристалла (ср. § 3 гл. 4)
не меняется, и можно ограничиться рассмотрением лишь малого вклада в нее,
проистекающего от деформаций поверхности Ферми. Последние можно
трактовать как возмущения, обусловленные рассеянием электронов на
смещенных ионах (ср. § 7 гл. 2 и § 13 настоящей главы). Рассмотрим
простой случай металла с почти свободными электронами. Тогда формализм
экранированного псевдопотенциала, развитый в § 3 гл. 5, точно, с полным
соблюдением условия самосогласования, описывает все эффекты,
обусловленные указанными смещениями. Таким образом, обнаруживается
