Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
• a ( 1 a% (k) 1
at \ к зк /
Сравнивая это с обычным уравнением Ньютона
т\ = еЕ, (6.42)
видим, что эквивалентом массы электрона является обратный тензор
1 1 ЭЩ (к)
№ Зк Зк
(6.43)
Этот тензор представляет собой наиболее близкий аналог динамической массы
электрона. В полупроводнике, например, изо-энергетическая поверхность
может иметь вид (4.35), т. е.
+ S + S <6-44>
в системе координат, отнесенной к некоторым локальным главным осям.
Действие электрического поля, ускоряющего электрон,
§ 6. Тензор массы. Электроны и дырки
211
будет при этом весьма различным в разных направлениях. Если
изоэнергетическая поверхность представляет собой эллипсоид, вытянутый в
направлении /е4, т. е. если mt т2 ~ т3, то масса будет казаться
значительно большей при измерении в направлении вдоль "долины" (фиг.
102), чем при измерении в поперечном направлении. Это важно учитывать при
вычислении вклада различных состояний в среднюю подвижность электронов.
Следует также модифицировать простую формулу (6.33), описывающую уровни
донорной примеси в рамках водородной модели. Именно,
надо принять во внимание анизотропию эквивалентного гамильтониана в
каждой долине, а также наличие нескольких (вырожденных по энергии) долин
у дна зоны проводимости многих полупроводников.
Тензор обратной массы не обязательно является положительно определенным.
В тех случаях, когда (как в благородных металлах Си, Ag, Аи) поверхность
Ферми соприкасается с границей зоны, мы можем приближенно представить ее
в виде (6.44), но с отрицательной величиной т3, что дает
гиперболоидальную изоэнергетическую поверхность (фиг. 103); в схеме
повторяющихся зон (§ 3 гл. 3) можно считать, что она проходит через
границу зоны. Динамика электрона в такой точке k-пространства выглядела
бы очень странной с классической точки зрения. Она коренным образом
меняется вследствие сильного брэгговского отражения от границы зоны.
Фактически электроны стремятся распространяться параллельно плоскостям
решетки, как бы направляемые набором волноводов.
Более обычной является ситуация, когда имеется почти заполненная зона,
как в полупроводнике или полуметалле (фиг. 104). Так как в схеме
повторяющихся зон Ш (к) есть непрерывная периодическая функция, то будут
заполнены все состояния почти до некоторого точно определенного максимума
функции Щ (к). Если этот максимум достигается, скажем, в точке к0, то
скорость, vk, будучи градиентом Щ (к), обращается в нуль при к = к0.,
212
Гл. 6. Динамика электронов
и главные значения тензора дгШ!дкдк будут отрицательными во всех
направлениях в окрестности к0.
Свойства электронов с отрицательной эффективной массой настолько
отличаются от свойств обычных частиц, что значитель-
Фиг. 103. Гиперболоидальная изоэнер- Фиг. 104. "Дырочный карман"
гетическая поверхность ("шейка"). наверху почти заполненной
зоны>
но удобнее перейти к обратной картине и исследовать свойства небольшого
числа дырок в заполненной зоне (фиг. 105). Мы уже упоминали в § 6 гл. 4,
что число таких дырок легко подсчитать с помощью статистики Ферми -
Дирака, принимая, что энергия
gh=sv~m
Фиг. 105. а - вакантное место в электронном распределении; б -
соответствующая "дырка" (шкала энергии перевернута).
увеличивается вниз; теперь мы покажем, что если рассматривать дырки как
положительно заряженные частицы, то с тем же соглашением относительно
направления отсчета энергии описание их динамических свойств будет
укладываться в привычпую классическую схему.
§ 6. Тензор массы. Электроны и дырки
213
Для начала заметим, что "дырку в состоянии к" следует описывать с помощью
детерминанта, содержащего все волновые функции зоны, за исключением г|)к.
Можно пойти дальше и действительно построить волновой пакет из таких
детерминантов. Однако главное состоит в том, что "скорость" дырки
совпадает со скоростью недостающего состояния; волновой пакет будет
двигаться в пространстве с той же скоростью, что и его соседи со всех
сторон от дырки:
1 (к) /й .с,
Vk = ?T- <6-45)
Рассмотрим теперь электрический ток, связанный с дыркой. Ток в целиком
заполненной зоне равен нулю. Ток электрона в состоянии к есть -| е
| vk. Следовательно, ток заполненной
зоны с одним недостающим электроном должен быть равен
= 0 - (- | е | vk) = | е | vk. (6.46)
Иначе говоря, дырка ведет себя как положительно заряженная частица.
Динамически дырка ведет себя так же, как состояния около нее. Скорость
будет изменяться по закону (6.41). Выражая это через ток, мы имеем
. . , 1 дЩ{Ъ) , . , | Г 1 0*"(кП . /с
Ielv - Iе I $2 <?kdk М)Е - М{ ffi atзк /-leJE • (6-47)
Это есть формула для ускорения частицы с положительным зарядом | е | и с
массой т*, где
1 1 1дЧ№ /с /оч
-[р-вкЙГ* <6-48)
Так как мы находимся вблизи потолка зоны, все компоненты тензора кривизны
изоэнергетической поверхности отрицательны, и поэтому т* -величина
положительная. Таким образом, динамические свойства дырки могут оказаться
анизотропными, но они будут, по существу, совпадать со свойствами
