Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
довольно большое расстояние с постепенно затухающими колебаниями. Эти
колебания необходимы для обеспечения ортогональности, хотя никакого
прямого физического смысла не имеют. Функции Ваннье полезны для
вычислительных целей, однако они не годятся для непосредственного
истолкования физических явлений.
§ 3. Уравнения движения в представлении Ваннье
Нам предстоит найти решение нестационарного уравнения Шредингера для
электрона, движущегося в потенциальном поле решетки плюс потенциал
внешнего электрического поля:
(SS° + °U)^(T, t) = ih d^% t] . (6.16)
Здесь d%>° есть гамильтониан электрона в идеальной решетке и
°11 - потенциал возмущения.
Попытаемся построить решение типа (6.7), но с функциями Ваннье в качестве
локализованных функций, т. е. положим
¦ф(г. t) = 2 fn (I, t) an (r - I). (6.17)
П, I
Здесь для каждой энергетической зоны, т. е. для каждого тина локальных
функций Ваннье, взята своя огибающая функция.
Подставим выражение (6.17) в уравнение Шредингера, помножим на ап' (г -
Г) и проинтегрируем по всему кристаллу. Пользуясь соотношением
ортогональности (6.13), получаем
2 j а*п, (Т-Г) {36* + *U) an{r-l) fn(l, . (6.18)
п, I
Далее, сами функции Ваннье были получены из решения уравнения для
невозмущепного кристалла, именно
G^4k,n= Шп (к) г|)к,п (6.19)
§ 3. Уравнения движения в представлении Ваннъе
203
для п-й зоны. Применяя это уравнение к равенствам (6.9) и (6.12), находим
т°ап (г - г) = 2е"ik'l^0^, п=-±= 2 *-ik 1¦;1шп (k) ч>к, п=
к ^ к
= If 2 е~*' 1%п (к) 2 е'к • l'an (г - V) =
к V
= 2 %n,i-van{r-l'). (6.20)
г
Здесь, по определению, введен фурье-образ энергии: подобно (3.32), мы
имеем
%п, г = -jf 2 (к) e~ik'1. (6.21)
к
Интересно сравнить уравнения (6.20) и (6.21) с (3.27). Коэффициент Шп, г
представляет собой интеграл перекрытия для гамильтониана решетки между
функциями Ваннье в п-й энергетической зоне, соответствующими узлам,
находящимся на расстоянии
I. Ввиду ортогональности функций Ваннье эти результаты точны, тогда
как при использовании атомных функций они были лишь приближенными.
Подставляя равенство (6.20) в уравнение движения (6.18), получаем
2 {Ьпп'Шп, 1-V + Чпп' (г, I')} fn (I, t) = ih dfn'll:'t], (6.22)
n, I
где
Unn'(l, V)= j a*.(T-V)U{T)an(T-l)dT (6.23)
есть матричный элемент потенциала возмущения по функциям Ваннье.
Эти уравнения являются точными. Прежде чем переходить к приближениям, мы
можем сделать еще один шаг. Рассмотрим следующую цепь формальных
равенств:
Mn{~i4)f{ r)=28n.iei,,(-iV)/(r) =
I
= 2 Sn.I[1-H-V+4 (Z-V)2...]/(r) =
= 2 (r) + Z-V/(r) + Y \ ¦ • • } • • •
] =
I
= 2 (6.24)
I
204
Гл. 6. Динамика электронов
В этом выводе предполагалось, что функция %п (к) в данной зоне есть
непрерывная аналитическая функция к - окрестности любых особых точек, в
том числе и точек ветвления, исключались. Соответствующую функцию
оператора (-iV) можно выразить с помощью соотношения, обратного (6.21),
т. е. надо написать
1п(к) = Еёп,ге*-1 (6.25)
i
и разложить экспоненту в ряд по степеням оператора V- В результате
получается разложение Тейлора для функции / (г + I). Формула (6.24)
справедлива, если функция / (г) непрерывна, и т. д. Подставляя (6.24) в
уравнение (6.22), мы получаем
[in' ( - iV) In' (г, t) - ih dfn'gt'l) ]r^, + 2 ^nn' (I, I') fn (I, t) =
0.
n, I
(6.26)
Это уравнение - пока еще точное в пределах данной зоны - определяет
огибающую функцию /п (г, t). Оно весьма интересно и полезно, ибо теперь
огибающая /" (г, t) рассматривается как непрерывная функция точки г,
подобная непрерывной волне, распространяющейся по кристаллу, а не как
функция, определенная только на множестве узлов-решетки. Довольно
громоздкое разностное уравнение (6.22) заменяется при этом
дифференциальным уравнением.
Более того, это дифференциальное уравнение не лишено сходства с временным
уравнением Шредингера. Например, для свободных электронов мы имеем
(6-27>
при этом уравнение (6.26) принимает вид
[ "?гV* -¦Ш ж] fn' <г' *> + 2 (*• г) fn (I, 0 = 0. (6.28)
П, I
Это похоже на обычное нестационарное уравнение Шредингера, в котором /п-
(г, t) есть обычная волновая функция электрона.
§ 4. Эквивалентный гамильтониан. Примесные уровни
Чтобы наилучшим образом использовать уравнение (6.26), обычно делают
несколько предположений. Во-первых, предполагают, что для описания
движущегося электрона достаточно использовать функции Ваннье только одной
зоны. Это означает, что мы пренебрегаем матричными элементами 4Lnn'(l,
Г), для которых пф п . Иными словами, мы предполагаем, что возмущение не
§ 4. Эквивалентный гамильтониан. Примесные уровни
205
столь сильно или не столь резко меняется во времени и в пространстве,
чтобы вызвать между зонные переходы. Это не всегда верно. Например,
высокочастотное электрическое поле может вызвать оптический переход в
верхнюю зону. Очень сильное электрическое поле может привести к эффекту
Зинера (см. § 8 настоящей главы).
Допустим далее, что можно пренебречь матричными элементами elLnn{l,V),
