Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(§ 8 гл. 2). Естественно предположить, что динамический закон ускорения
имеет вид
/jk = F,
(6.5)
где F - сила, действующая на электрон. Мы пришли к закону Ныотопа:
скорость изменения квазиимпулъса равна приложенной силе.
Эти два принципа (6.2) и (6.5) действительно справедливы, но их надо
обосновать. Именно надо показать, каким образом присутствие
кристаллической решетки приводит к глубокому изменению характера
распространения электрона, а также получить известное представление об
аппроксимациях, в которых справедливы эти простые законы. Ход рассуждений
довольно сложен и разбивается на несколько этапов.
§ 2. Функции Ваннье
Напомним наше определение (§ 4 гл. 3) функции Блоха через атомные
волновые функции фп:
¦Фк,
VN
(6.6)
Эта формула имеет совершенно ясный смысл - она описывает волну ехр (ik-
?), наложенную на набор локализованных атомных функций, определяющих фазу
и амплитуду в каждой ячейке решетки (фиг. 97).
fd,0
tJr-l)
Фиг. 97. Волна, наложенная на атомные волновые функции.
^_ЗДля описания динамических эффектов мы могли бы попытаться построить по
тому же образцу волновую функцию, зависящую от времени:
Ф(г, 0 t) ф" (г -?)•
I
(6.7)
200
Гл. 6. Динамика электронов
Здесь огибающая функция / (I, t) показывала бы, сколь сильно меняется
волновая функция вблизи узла I по сравнению с локальной атомной функцией
фп (г - I).
Однако приближение сильно связанных электронов как таковое не совсем
удобно ввиду затруднений, возникающих с орто-гонализацией. Действительно,
функция, определенная формулой (6.6), не является решением уравнения
Шредингера в поле кристаллического потенциала. Как известно, нужно
составить линейную комбинацию атомных функций типа
'he = -i/Jj 2 е^'1стфт{г-0 (6.8)
ltm
и определить коэффициенты, потребовав, чтобы удовлетворялось уравнение
Шредингера. Таким образом, мы не сможем воспользоваться представлением
(6.7), не решив предварительно задачу о линейной комбинации атомных
функций - довольно утомительное начало!
Можно, однако, определить функции так, чтобы они обладали интересующими
нас свойствами локализованных атомных функций. Предположим, что
существует такая функция ап (г), что истинные функции Блоха в п-й зоне
имеют вид
^п=^^б4'1а"(г"г)' (6-9>
Эту новую функцию ап мы назовем функцией Ваннъе. Она зависит от положения
точки в пространстве, но не от вектора к. Каждой энергетической зоне
будет отвечать своя функция Ваннье, точно так же как каждая атомная
волновая функция в приближении сильной связи порождает свою зону.
Легко обратить формулу (6.9). Пусть мы каким-либо способом, скажем
методом ортогонализованных плоских волн, решили уравнение Шредингера для
функций Блоха г|зк, п. Тогда можно умножить равенство (6.9) на
соответствующий волновой множитель и просуммировать по всем значениям к в
зоне Бриллюэна:
2"-ai4nW=^2*,k,(''',)e" (*-*)=
к ^ к, I
= VN Yi^n-an (г-l)=VN ап (г -V). (6.10)
I
Мы воспользовались здесь результатом, который, строго говоря, не был
доказан, по легко может быть доказан по аналогии с (2.92):
(6.11)
§ 2. Функции Ваннье
201
если 1ф1' и суммирование ведется по всем возможным значениям вектора к в
зоне Бриллюэна.
Равенство (6.10) можно переписать в виде
' ап (г - I) =-'^к" " (г)' (6Л2>
* к
Используя ортогональность функций г|зк, п и г|зк, для разных зон, легко
доказать, что ортогональны между собой и функции ап (г - г) и ап' (г - 1)
(ПРИ п> Ф п)¦ Кроме того, всегда ортого-
нальны друг другу функции Ваннье, даже принадлежащие одной и той же
энергетической зоне, если они центрированы на разных узлах решетки (фиг.
98). Именно
j аЪ(т- I) ап (г - l')dr= 2 eikwe-ik'-1'j ^ki"t)3k.,"dr =
k.k'
=4г2еЛ,(,"п=6"' (6ЛЗ>
k
(здесь использовано известное свойство ортогональности функций Блоха с
различными волновыми векторами).
Функции Ваннье, таким образом, представляют собой результат унитарного
преобразования функций Блоха и дают формально эквивалентное представление
электронных состояний. Как уже указывалось в § 8 гл. 5, они, возможно,
более подходят для описания изолятора, где электроны хорошо локализованы
и эффекты корреляции ограничивают их движение областью вблизи "своего"
атома. В металлах или в полупроводниках, однако, блоховские состояния,
соответствующие электронам, быстро распространяющимся через весь
кристалл, больше годятся для описания частиц, квазичастиц,
одноэлектронных возбуждений, носителей заряда и т. п.
202
Гл. 6. Динамика электронов
Представление об истинном виде функции Ваннье можно получить с помощью
формулы (1.60)
'фк'ОО = N~1^u (г) eik-r, (6.14)
если принять, что периодическая функция и (г) примерно одинакова для всех
блоховских состояний в зоне. Для случая простой кубической решетки с
постоянной решетки d легко доказать, что функция Ваннье, соответствующая
узлу в начале координат, имеет вид
п М - 7/ (r\ sin (nx/d) sin (ny/d) sin (nz/d) ,R ,
' ' ' (nx/d) (ny/d) (nz/d) '' \ • )
Эта функция похожа на и (г) в центре ячейки, но она распространяется на
