Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вторая описывает проводник.
Чтобы установить различие между этими случаями, можно воспользоваться
следующими соображениями. Пусть мы вывели один электрон из некоторой
совокупности локализованных состояний. При этом останется пустой ион, т.
е. положительный заряд. Электрон будет притягиваться к нему и может даже
попасть в связанное состояние, так что фактически он не сможет свободно
двигаться по кристаллу и давать вклад в ток. Но теперь предположим, что
имеется уже ряд таких электронов. Они будут стремиться
*) Строго говоря, здесь следовало бы рассматривать функции Ваннье (см. §
2 гл. 6). Однако рассуждение не меняется, если предположить, что
приближение сильной связи справедливо, когда атомы находятся на больших
расстояниях друг от друга.
196
Гл. 5. Взаимодействие между электронами
заэкранировать заряд иона, потенциал которого можно взять в виде,
аналогичном (5.29):
-(5.70)
Если концентрация электронов, оторванных от ионов, есть п, то, согласно
формуле (5.22),
V = (5.71)
Ic учетом (3.3), (3.4) и (4.3)].
Обычное кулоновское поле способно захватить электрон в связанное
состояние. Низшему состоянию - основному состоянию атома водорода -
соответствует радиус
(5.72)
Если длина экранирования 1/А, меньше, чем ан, то даже это связанное
состояние не сможет образоваться. Таким образом, чтобы ионизованный атом
был способен вновь захватить оторванный от него электрон, должно
выполняться условие
^ < ан\
т. е.
п-1/з>4ан. (5.73)
Если среднее расстояние между атомами в нашем случае превышает четыре
атомных радиуса, то металлическое состояние неустойчиво и система должна
стать изолятором. Более того, этот эффект имеет коллективный характер:
каждый лишний свободный электрон помогает освободиться остальным. Даже
если мы не точно нашли число 4 в неравенстве (5.73),
все равно кажется
весьма вероятным, что переход будет принципиально очень резким. Сближая
наши атомы водорода или Na, мы увидели бы, что эта система внезапно
превратилась из изолятора в металл с определенным межатомным расстоянием.
Переход Мотта наблюдали в некоторых окислах, которые скачкообразно
превращаются в проводники по достижении некоторой температуры. Эти
представления можно применить также к примесным центрам в полупроводнике
- надо лишь модифицировать величину ан *), умножив ее на макроскопическую
диэлектрическую проницаемость (как в § 5 настоящей главы) полупроводника
(см. § 4 гл. 6).
Все изложенное по существу тесно связано с гипотезой Вигнера а том, что
при малой концентрации электронный газ будет "кри-
') При этом т обозначает эффективную массу.- Прим. ред.
§ 9. Переход Мотта
197
сталлизоваться". Пусть г0 есть средний радиус сферы, занимаемой одтщм
электроном, т. е.
(5.74)
Потенциальная энергия электрона из-за наличия в этой сфере фона
положительного размазанного заряда будет по порядку величины равна
-ir- <5-75)
С другой стороны, поскольку движение электрона ограничено областью
пространства внутри выбранной сферы, он будет обладать энергией нулевых
колебаний
(5.76)
mr% v '
Таким образом, потенциальная энергия начнет перевешивать при
jL h2
~2Г0 ~ тт\ '
т. е. когда
r0^z2aH. (5.77)
Численный множитель здесь, как и в неравенстве (5.73), не следует
принимать всерьез; отнюдь не ясно также, при каких условиях подобный
переход вообще может наблюдаться. Тем не менее важно ясно отдавать себе
отчет в ограниченном характере применимости простой зонной теории,
изложенной в гл. 4, равно как н простой теории корреляции электронов,
рассмотренной в настоящей главе.
ГЛАВА 6
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОНОВ
Свобода есть осознанная необходимость.
Фридрих Энгельс
§ 1. Общие принципы
До сих пор мы рассматривали статические свойства твердых тел. Однако
многие из наиболее важных физических явлений, например электропроводность
и теплопроводность, являются динамическими - опи обусловлены воздействием
внешних сил и полей. Возникает задача о создании теории таких явлений,
особенно применительно к электронам проводимости.
Элементарные принципы здесь очень просты. Прежде всего надо вычислить
скорость электрона в состоянии с волновой функцией |к). Соответствующая
энергия есть Щ (к); в элементарной
квантовой механике с ней связывается зависящий от времени
множитель, как будто электрон имеет частоту
vk = -^g(k). (6.1)
Но, согласно теории волн в среде с дисперсией, групповая скорость
волнового пакета с частотами, близкими к vk, равна
{ д% (к) ,п оч
vk = Vkvk = T^-. (6.2)
Скорость электрона "в состоянии |к>" есть в точности градиент энергии Щ
(к) в к-пространстве.
Для свободного электрона это правило дает обычный результат
g(k) = A^ (б.з)
vk = - = - , (6.4)
mm ' '
где р - импульс электрона. Из элементарной квантовой механики хорошо
известно, что именно такова скорость электрона, рассматриваемого как
волновой пакет, свободно распространяющийся в пространстве.
$ 2. Функции Ваннъе
199
Далее, величина /гк ведет себя подобно импульсу в дифракционных явлениях
