Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
этого определения оператор
Пко - Ько^ка (11.25)
х) См. примечание на стр. 418.- Прим. ред.
§ 3. Основное состояние сверхпроводника
427
представляет собой оператор числа заполнения состояния (к, о), и
собственные значения его равны 0 и 1 в соответствии с принципом Паули.
Когда к не совпадает с к' (или а с а') в формуле (11.24), антикоммутатор
отражает принцип антисимметрии, согласно которому перестановка индексов
двух состояний меняет знак волновой функции на обратный.
Гамильтониан рассматриваемой системы можно записать в виде
SC = 2 ? (k) bkabka + 2 V (К) Ьк2-к, ;^кц-к, t^ki. t^k2, ;• (11.26)
ko ki, кг, К
Первый член здесь представляет собой кинетическую энергию электронов,
отсчитываемую, как и в формуле (11.12), от уровня Ферми. Часто удобно
считать, что уровень Ферми может изменяться, т. е. что полное число
электронов п не фиксировано, и ввести химический потенциал ? электронного
газа, переписав первый член следующим образом:
Mo = 2 (к) = 2 "ка{Ш (к) -Q = 2 пкаЩ (к)-nl. (11.27)
ка ка ка
Второй член в формуле (11.26) описывает рассеяние, связанное со
взаимодействием (11.2), которое "уничтожает" электроны в состояниях кх и
к2 и "вновь порождает" их в состояниях кх + К и к2 - К; соответствующий
матричный элемент равен V (К). Мы считаем здесь, что взаимодействуют
только электроны с противоположными спинами.
Метод Боголюбова основан на каноническом преобразовании операторов bka и
Ъ^а к новым операторам уничтожения и рождения, подчиняющимся тем же
соотношениям антикоммутации. В частности, новые операторы должны
обнаруживать некоторые свойства спаривания - они должны связывать
состояние (k, f) с состоянием (-к, |) в соответствии с эффектом Купера.
Для простоты опустим спиновые индексы и положим
Pk = Ufc^k ^k^-k> Pk= ^k^k ^k^-k> .
P -k = Ukb*_k + Vkbk, P_k = ukb_k + vkbk.
Операторы Pk, Pk будут подчиняться соотношениям антикоммутации,
соответствующим фермионам, если
i4 + ii = 1. (11.29)
В сущности это преобразование аналогично формулам (10.130) для спиновых
волн в антиферромагнетике. Разница состоит лишь в том, что теперь мы
имеем дело с "действительным вращением" в пространстве к и -к, так что
выражения
uk = cos 0k, = sin 0k (11.30)
428
Гл. 11. Сверхпроводимость
удовлетворяют условию (11.29). Это связано с тем, что мы рассматриваем
сейчас не бозоны, а фермионы.
Если разрешить соотношения (11.28) относительно исходных операторов и
подставить выражения для них в гамильтониан (11.26), то получим
совокупность членов, содержащих различные произведения новых операторов
рк, PJ. Когда какой-либо из этих членов содержит оператор уничтожения рк,
мы можем воспользоваться соотношениями антикоммутации и передвинуть его
направо, например
PkP?' = Skk--P?'Pk. (11.31)
Пусть наше сверхпроводящее состояние представляет собой "вакуум", | 0),
для этих новых операторов. По определению, в вакууме нет объектов,
которые могут быть уничтожены, поэтому
рк|0) = 0 (11.32)
для всех к. Такие члены в гамильтониане не дают вклада в энергию
основного состояния, волновая функция которого | 0), следовательно, есть
собственная функция всей этой части гамильтониана SB-
Остаются, однако, члены, которые нельзя исключить таким путем - они
содержат только операторы рождения pj. Эти члены возникают из части
гамильтониана (11.26), соответствующей кинетической энергии, а также при
свертывании членов взаимодействия, когда, например, векторы к и к' в
(11.31) оказываются равными. Таким образом, гамильтониан можно записать в
виде
SB = 2 2 I (к) Ук + 2 V (К) ИкУкИк+кУк+к +
к к, К
+ 2 {2?(к)^к + (4-г4) 2^(К)ик+кУк+к}ргр*к. (Н-ЗЗ)
к К
Первые две суммы здесь дадут энергию основного состояния, если только мы
сможем исключить операторы рождения в последней сумме.
Эта задача очень похожа на проблему исключения "недиагональных" членов
(10.132), и мы воспользуемся тем же приемом, что и раньше. Выберем
коэффициенты преобразования ик, так, чтобы каждый из "опасных" членов
исчез, т. е. положим
2?(k)wkyk + (i4 - у|) ^]V(K)uk+Kvk+K = 0. (11.34)
к
В общем случае это есть сложное интегральное уравнение для неизвестных
функций ик и ук, связанных также условием (11.29). Введем теперь
предположения (11.8) и (11.9), приближенно считая потенциал притяжения V
(К) постоянными равным V внутри интер-
§ 4. Квазичастицы и энергетическая щель
429
вала энергий и равным нулю вне его. Будем рассматривать сумму по К в
уравнении (11.34) как параметр
V)
Ао= -V 2 ик+К^к+К (11.35)
- W
л решим систему уравнений (11.34) и (11.29). Результат
гласит:
ui = ±-\i+-Ш=], 1* = 4-Г1-1 • (11.36)
2L TyA§ + |2(k)J' L VA§ + g2(k)J v >
Подставляя это в выражение (11.35) и интегрируя по ? в
области
вблизи поверхности Ферми, получаем
W
1 = -YV 2 {Al +I2 (к)}-1/2 = -1 jr (ip) Fin (11.37)
-V)
(следует помнить, что нужно учитывать только одно направление спина). Это
точно совпадает с равенством (11.19). Параметр Д0 есть не что иное, как
энергия связи куперовской пары, даваемая выражениями (11.20) или (11.22).
