Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь можно подставить этот результат в оставшуюся часть гамильтониана
(11.33), из которого исключены все операторы. Мы получаем
go =2 2?(к)-уА"22{До + ^(к)Г1/2- (11-38)
|<0 к
Итак, функция | 0) есть собственная функция гамильтониана 36, но энергия,
которая ей соответствует, меньше энергии сферы Ферми, заполненной
электронами; последняя величина давалась бы просто суммой функций ? (к)
для заполненных состояний, как в формуле (11.27). Можно также показать,
что эта энергия минимальна относительно вариации среднего числа
электронов п, как это и требуется соотношением (11.27).
§ 4. Квазичастицы и энергетическая щель
Какова природа сверхпроводящего состояния ] 0 > ? По определению, это
"вакуум" операторов Р?, Рк- Последние могут порождать и уничтожать
возбуждения вакуума точно так же, как исходные операторы и bk могут
"порождать" и "уничтожать" электроны. Что же это будут за возбуждения?
Согласно определению (11.28), оператор Р? "порождает" электрон в
состоянии к с амплитудой "к и одновременно "уничтожает" электрон в
состоянии -к с амплитудой Vk.
Коэффициенты uk п i\ даются выражениями (11.36). Пусть состояние к
находится значительно выше поверхности Ферми,
430
Гл. 11. Сверхпроводимость
так что | (к) Д0. Тогда и& " 1 и г;^ " 0; возбуждение будет
похоже на обычный электрон. Когда мы приближаемся к уровню Ферми, \ (к)
стремится к нулю и коэффициент при операторе уменьшается, тогда как
коэффициент при операторе Ь_t возрастает. Когда величина \ (к) становится
отрицательной, превосходит V2; когда же мы опускаемся значительно ниже
уровня Ферми, z4 " 1 и 4 " 0. Возбуждение соответствует теперь
"уничтожению" электрона в состоянии -к, т. е. оно представляет собой
"дырку" в области состояний, заполненных в отсутствие возбуждений.
В сверхпроводящем состоянии возбуждениями являются, таким образом, особые
квазичастицы, которые превращаются из "электронов" в "дырки" при
прохождении через уровень Ферми
Фиг. 203. Квазичастицы.
(фиг. 203). В интервале энергий порядка А0' вблизи уровня Ферми каждая
квазичастица представляет собой "смесь" электрона в состоянии к и дырки в
состоянии -к. Куперовские пары, как таковые, уже более не появляются, но
корреляция менаду электронами с противоположными импульсами (и,
разумеется, с противоположными спинами) очевидна. По существу, мы
утверждаем, что должно существовать соотношение между фазами волновых
функций в спаренных состояниях.
Можно также вычислить энергию возбуждения. Для этой цели надо найти
коэффициент в членах, содержащих оператор
Вк = КРь (И-39)
в выражении (11.26), так как именно этот оператор определяет число
возбужденных квазичастиц данной моды. В результате для
§ 4. Квазичастицы, и энергетическая щель
431
упрощенного взаимодействия, используя соотношения (11.35) и (11.36), мы
получаем
е (к) = ^ (к) (ик - vfy - 2ukvk 2 V (К) uk+Kvк+к =
к
= /A*+F(kj. (11.40)
Этот результат очень важен, поскольку из него следует наличие
энергетической щели величины Д0 над основным состоянием сверхпроводника
(фиг. 204). Если ? (к) Д0, то е (к) да ? (к) - энер-
гия квазичастицы равна энергии возбуждения обычного электрона
Энергия
над уровнем Ферми. Но когда вектор к приближается к поверхности Ферми,
где с (к) равно нулю, энергия квазичастицы стремится к постоянной
величине Д0. При дальнейшем убывании к энергия е (к) снова возрастает и в
конце концов становится почти равной
1 g (к) |. Это есть как раз энергия, требующаяся для того, чтобы
удалить электрон из состояния с отрицательной энергией | (к) - что и
следовало ожидать в свете нашей интерпретации операторов квазичастиц.
i ;
Сверхпроводящее состояние, таким образом, есть "конденсированное"
состояние в том смысле, что для создания возбужденного состояния всей
системы требуется конечная энергия Л0. В некоторых отношениях ситуация
немного напоминает полупроводник, где также требуется преодолеть
энергетическую щель для того, чтобы забросить электрон в зону
проводимости. Эта аналогия помогает грубо объяснить некоторые особые
свойства сверхпроводников, например поглощение электромагнитного
излучения (ср. § 5 гл. 8) и туннельный эффект (§ 8 гл. 6).
432
Гл. 11. Сверхпроводимость
§ 5. Температурная зависимость энергетической щели
Основное состояние реализуется лишь при Т = 0. При конечной температуре
будут возбуждаться квазичастицы, распределение которых дается обычной
функцией Ферми - Дирака
fk== e&(k)/hT_^l • (11.41)
В нормальном состоянии такие возбуждения, расположенные над уровнем Ферми
или под ним, независимы друг от друга. В сверхпроводящем состоянии они
будут взаимодействовать друг с другом, стремясь уничтожить энергетическую
щель.
Пусть мы имеем дело с состоянием | /к), среднее число квази-частиц с
импульсом к в котором дается функцией (11.41). Результат действия
оператора уничтожения рк на это состояние не равен нулю. В среднем можно
заменить оператор (11.25) на
P?Pk I /к) = /к | /О- (11.42)
Приведение к диагональному виду гамильтониана, действующего на функцию |
