Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в формулах (10.125); мы не будем более останавливаться на этом члене.
Другая особенность нашего "чередующегося" состояния состоит в том, что в
формуле (10.128) присутствуют члены, связывающие операторы Sq и Ь_ч. Они
возникают при подстановке выражений (10.125) в (10.124) из произведений
типа clvclv, которых нет в случае ферромагнетика [см. (10.113)].
Присутствие "фона" спинов Изинга меняет трансляционную симметрию системы,
так что гамильтониан не диагонализуется автоматически при преобразовании
Фурье (10.127). По-видимому, следовало бы включить два спина в
элементарную ячейку и выполнять преобразование Фурье несколько иначе.
§ 12. Основное состояние антиферромагнетика
413
Фактически, однако, задача не более сложна, чем аналогичная задача о
диагонализацпи матрицы взаимодействия (2.13), возникающая при изучении
динамики решетки. Введем новые переменные cq, Cq с помощью канонического
преобразования
bq яя Cq ch 0q -f- C^Lq sh 0q, 6q = Cq ch 0q -f- C_q Sh 0q,
&_q = cjj sh 0q + C_q ch 0q, blq = Cq Sh 0q + C* q ch 0q,
(10.130)
сохраняющего правила перестановки
[cq, c5]==ch20q -sh20q= 1. (10.131)
Параметр 0q характеризует вращение на мнимый угол в пространстве этих
четырех операторов. Не лишне отметить, что оператор cHq сопряжен с cq;
надо изменить направление движения на обратное, если мы хотпм
рассматривать состояние, физически сопряженное данной волне.
Если подставить выражения (10.130) в правую часть (10.128), то получится
совокупность "недиагональных" членов
i-2 {24qch0qsh0q + 5q(ch20q + sh20q)}(cqc_q + c*ciq). (10.132) q
Для каждого вектора q можно добиться, чтобы эти члены исчезли, если
выбрать 0q в соответствии с равенством
77^ ~ = -th2(V (10.133)
Тогда диагональные члены дают
3e=^[(A\-B\)v*{c\cq + ±-)-A^. (10.134)
q
Мы воспользовались здесь правилами перестановки для того, чтобы
расположить операторы в указанном порядке. Суммирование проводится теперь
по всем значениям q, как положительным, так и отрицательным.
Этот результат очень напоминает формулу (10.115). Собственные функции |
nq) оператора CqCq соответствуют, скажем, возбуждению nq кваптов даппой
моды. Энергия антиферромагнона в простых случаях равна
/гсоч = -#|)1/2= {($На- 2zSJf - (2pSJ (cos qa)f}y\ (10.135)
где величина (cos qa) есть значение cos qa, усредненное по р ближайшим
соседям, расположенным на расстоянии а от начала координат и
взаимодействующим, по предположению, через обменный интеграл J. Если
положить
ПсоА - р НА, = - 2 pSJ (10.136)
414
Гл. 10. Магнетизм
(вспоминая, что для антиферромагнетика обменный интеграл / отрицателен),
то спектр спиновых волн будет иметь вид
"q = {К + Wj)2 - (C0j (cos да)У2}1/2. (10.137)
Этот результат кажется довольно простым. Пусть, например, "А <€ 0>J.
Тогда
coq ж со j {1 - (cos qa)2}1/2 " -- со 3qa. (10.138)
1/3
Частота в этом случае линейно зависит от волнового вектора - точно так же
как и для спектра колебаний решетки (2.21). Вклад магнонов в удельную
теплоемкость должен быть пропорционален Т3 [(ср. (2.57)].
Попытаемся теперь воспроизвести рассуждения, приведшие нас к формуле
(10.122), и подсчитать намагниченность каждой из подрешеток как функцию
температуры. Среднее спиновое отклонение, очевидно, равно
(afai) =-j^ 2 (6q6q) (ch20pCqCq + sh2 QqCqCq) =
q q
"is {(".+{)1^-7} <'0-'39>
q
[мы использовали здесь преобразования (10.127) и (10.130)]. В этом
выражении rcq есть число возбужденных магнонов q-й моды; температурная
зависимость его определяется функцией Бозе - Эйнштейна (10.120).
Однако даже при абсолютном нуле среднее спиновое отклонение не обращается
в нуль. Полагая в, = 0 в формуле (10.139), мы получаем
(Я?а,)Г=0 = S (-Ц^ " 1 ) ~ 2N 2 { (1_<С08 ga)2)V2 " 1 } '
(10.140)
Последнее приближенное равенство справедливо в простом случае (10.138).
Сумму в формуле (10.140) можно вычислить. Она ведет себя подобно
интегралу
j (10.141)
который сходится лишь тогда, когда q принадлежит двумерному или
трехмерному множеству. Таким образом, мы вновь получили, что в одномерном
антиферромагнетике нет устойчивого упорядоченного состояния даже при Т =
0. Этот результат выходит за рамки утверждения (10.96), согласно которому
одномерная
§ 12. Основное состояние антиферромагнетика
415
модель Изннга неустойчива относительно тепловых флуктуаций; в случае
антиферромагнетика уже флуктуации, связанные с обменом спинов, разрушают
упорядоченное основное состояние системы.
Даже в случае двух и трех измерений момент каждой из подре-шеток не
достигает предполагаемого максимума. Действительно, "чередующееся
состояние", определяемое значениями сггв (10.125), на самом деле не
соответствует собственной функции гамильтониана. В этом можно
удостовериться методом, использованным при выгоде формулы (10.106); как
там отмечалось, член S"SF приводит к передаче спинового отклонения от
одного узла к другому.
/ Г IV
1 И М N 1 \х\ \ м
а 5
Фиг. 197. В антиферромагнитном упорядоченном состоянии (а) действие
обменного оператора Si Si' приводит к порождению двух спиновых отклонений
