Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
когда величины А и т] малы.
Для получения правильного ответа нужно также принять во внимание
процессы, при которых пара рассеивается из заполненной области, лежащей
внутри поверхности Ферми, а остающуюся пару дырок могут заполнить
электроны из состояний кх и к2 (фиг. 202, в). Этот процесс дает вклад в
г2, совпадающий с (11.15). Складывая все эти члены, видим, что амплитуда
рассеяния должна вести себя как бесконечный ряд
к',
а
5
в
г да V + yV2 + y2V3 + . .
(11.16)
где
__ 1 Щ1 , 2 w
У 2я2 hvF 11 max (Д, т))
Ряд (11.16) можно просуммировать;
(11.17)
* ^ 1-yV
(11.18)
§ 2. Куперовские пары
425
Таким образом, амплитуда рассеяния ведет себя так, как если бы она имела
полюс. Это хорошо известный признак того, что предположение о свободных
частицах, рассеивающихся друг на друге, не справедливо, и имеется
связанное состояние двух электронов. Положим, например, г) = 0, так что
кх = -к2. Энергия, при которой расположен полюс, определяется из условия
! = (И.19)
Другими словами, когда полная энергия пары электронов ниже уровня Ферми
на
A0 = 2";exp(-^f), (11.20)
электроны стремятся образовать связанное состояние -"квазимолекулу".
Такое состояние называется куперовской парой.
Возможность существования таких состояний еще не решает проблемы
сверхпроводимости. Действительно, рассуждение показывает, что все
электроны в металле стремятся образовать такие пары, в которых
связываются электроны в состояниях к и -к. В этом газе квазимолекул,
подчиняющихся статистике Бозе - Эйнштейна, может произойти бозе-
эйнштейновская конденсация. Но пары неустойчивы; такой подход к описанию
сверхпроводящего состояния более эвристичен, чем убедителен.
Наиболее важный результат составляет формула (11.20) для энергии пары.
Модель свободных электронов дает
¦Д^"т^(*')=т-§7 (11-21>
[в теории Бардина, Купера и Шриффера эта величина обозначается через N(0)
- плотность состояний для одного направления спина при энергии, равной
энергии Ферми]. Подставляя величину (11.6) в (11.20) и полагая w " /с0,
находим
Д0 " 2/с(c)е-2^(^) m " 2кве~8%*/91 * |2. (11.22)
Если предположить, что А 0 характеризует энергию сверхпроводящего
перехода, и положить ее равной кТс, то окажется, что температура
перехода Тс должна лежать где-то между 1/10 и 1/10 000
температуры Дебая в зависимости от величины потенциала взаимодействия
электронов с ионами, \ Ч1\. Именно это и наблюдается в действительности;
теперь понятно, почему Тс так сильно отличается от 0.
Другое следствие, которое вытекает из всего сказанного, - это
изотопический эффект. Если предположить, что масса каждого иона М
меняется при неизменных силах межатомного взаимодейст-
426
Гл. 11. Сверхпроводимость
вия, то можно ожидать, что скорость звука при этом будет меняться как
М~х1%. Того же надо ожидать и от величины 0, так что
Тс~М-у\ (11.23)
Эта закономерность приближенно выполняется во многих случаях.
Далее следует отметить, что куперовские пары связаны сильнее, если
электроны наряду с противоположными импульсами имеют и противоположные
спины. Это не очевидно из только что приведенного рассуждения, но
вытекает из вывода потенциала притяжения (11.2). В рассуждении § 1
настоящей главы предполагалось, что мы имеем дело с различимыми
частицами, т. е. с электронами с противоположными спинами. Если бы спины
двух электронов были одинаковы, то надо было бы принять во внимание
принцип Паули и использовать антисимметризованные волновые функции при
вычислении эффективной энергии взаимодействия. Включение "обменных"
членов привело бы к ослаблению силы притяжения, так как мы должны
запретить электронам находиться в одном и том же состоянии или в одной и
той же точке. Синглетное состояние куперовской пары - это наинизшее
состояние квазимолекулы.
§ 3. Основное состояние сверхпроводника
Полученный выше результат указывает на две важные особенности
сверхпроводящего состояния: его нельзя получить, принимая во внимание
лишь конечное число членов ряда теории возмущений, поскольку функция
(11.20) не аналитична по V вблизи V = 0; в этом состоянии электроны
каким-то образом спарены, причем состояние к связано с состоянием -к.
Впервые такое состояние было построено Бардином, Купером и Шриффером х).
Чтобы найти их решение, мы воспользуемся методом Боголюбова.
Очень удобно вообще избежать рассмотрения свойств волновых функций и
сформулировать всю задачу на языке операторов. Нам нужно отразить тот
факт, что имеется N электронов, энергия которых в основном кинетическая,
что они находятся в состояниях, характеризуемых векторами к и спиновыми
индексами сг, и взаимодействуют друг с другом через потенциал V (К).
Определим операторы уничтожения и рождения Ька, Ъкоторые аналогичны
операторам aq, а%, определяемым соотношениями (2.129) и (10.109), но
относятся в данном случае к фермионам. Это означает, что они должны
подчиняться соотношениям антикоммутации
[&ка, ^к'о']+ - ^ко^к'о' "Ь &k'cr&k<j - бкк'^скт'. (11.24) Вследствие
