Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Последняя формула, в которую уже не входит гипотетическая "волновая
функция", известна под названием уравнения Лондонов; оно позволяет далеко
продвинуться в объяснении многих свойств сверхпроводников. Мы знаем,
например, что проводимость бесконечна, так что внутри образца нет
электрического поля. Статическое магнитное поле связано с током J через
уравнение Максвелла
(11.58)
Уравнение (11.57) можно переписать в виде
ухН.
4л
J.
H=[V*A]= _^?.[vxJ].
(11.59)
438
Гл. 11. Сверхпроводимость
Комбинируя равенства (11.58) и (11.59), мы получаем
V2H = rp'H, = где _____
В случае когда непосредственно у поверхности сверхпроводника магнитное
поле параллельно ей и равно Н0, решение уравнений (11.60) имеет вид
Н = Н0е*'\ (11.62)
где z - расстояние от поверхности в глубь образца. Таким образом, поле
быстро спадает и проникает только на расстояние X, называемое глубиной
проникновения, величина которой порядка 5*10"(r) см.
Этот результат не зависит от способа создания поля. Он имеет место для
образца, который охлаждается в магнитном поле, начиная с температур,
близких к температуре перехода. Когда металл становится сверхпроводящим,
магнитное поле выталкивается из образца. Это эффект Мейсснера, который
нельзя объяснить просто на основе бесконечной проводимости.
Тот факт, что сверхпроводящее состояние связано с возможностью инверсии
времени и "идеально диамагнитно", наводит на мысль, что достаточно
сильное магнитное поле может его изменить. И действительно, объемная
сверхпроводимость во многих металлах пропадает при наложении магнитного
поля, превышающего некоторое критическое значение Нс. Для
сверхпроводников I рода это значение можно рассчитать термодинамически,
зная кривую удельной теплоемкости. Энергия поля Щ/8л в критической точке
должна быть равна разности свободных энергий в сверхпроводящем и
нормальном состояниях. Будем, например, считать, что удельная
теплоемкость сверхпроводящего состояния пропорциональна Г3, а в
нормальном состоянии определяется электронной удельной темплоемкостью уТ.
Тогда можно показать, что критическое поле должно зависеть от температуры
по формуле
He = V2ZyTe (l-(-?L)2}, (11.63)
где Тс - критическая температура (11.48). Фактически, как отмечалось
после формулы (11.51), удельная теплоемкость сверхпроводника сложным
образом зависит от температуры, так что формула (11.63) верна лишь
приближенно.
Следует подчеркнуть, что в этом рассуждении предполагается, что магнитное
поле полностью выталкивается из образца. В очень маленьком или тонком
кусочке металла, толщина которого срав-
§ 8. Длина когерентности
439
нима с Я, магнитное поле проникает в глубь образца, и термодинамическое
рассмотрение оказывается неприменимым. В этом случае сверхпроводящее
состояние может сохраняться до значительно более сильных магнитных полей,
чем можно было бы ожидать на основе формулы (11.63). Именно это
происходит в сверхпроводниках II рода, где нити такой толщины могут
оказаться устойчивыми даже в массивных образцах из-за взаимодействия с
дислокациями, примесями и т. д. (см. § 10 настоящей главы).
§ 8. Длина когерентности
При выводе уравнения Лондонов (11.57) мы предполагали, что волновая
функция сверхпроводника является "жесткой" и не изменяется при приложении
магнитного поля. Это, очевидно, неверно ; мы знаем, что достаточно
сильное магнитное поле уничтожает сверхпроводящее состояние. Вычислим
изменение волновой функции т|) в (11.55) под действием внешнего
возмущения А (г), действующего на основное состояние сверхпроводника.
Это нетрудно сделать в рамках формализма Боголюбова, изложенного в § 3
настоящей главы. Рассмотрим одну фурье-компонен-ту вектор-потенциала:
А (г) = Аче{ч,г. (11.64)
Матричный элемент такого выражения для перехода между двумя состояниями
свободного электрона типа exp (ik-r) и exp (iк' - г) равен
j e~ik''TA (г) eik'rdr = Aq6 (k-f- q - к'). (11.65)
Таким образом, на языке операторов уничтожения и рождения,
удовлетворяющих соотношениям антикоммутации (11.24), вектор-потенциалу А
(г) соответствует оператор
Д = А^г+,Ьк. (11.66)
С точностью до членов первого порядка по А возмущение, вносимое магнитным
полем в гамильтониан, представляется оператором
+ + (11-61) к
В этом легко убедиться по аналогии с выражениями (11.65) и (11.66);
матричные элементы оператора в, правой части между всеми состояниями
"голого электрона" совпадают с матричными элементами оператора, стоящего
слева.
Применим теперь к этому выражению преобразование (11.28), Результат,
записанный через квазичастичные операторы Pk,
440
Гл. 11. Сверхпроводимость
имеет довольно сложный вид, однако, рассматривая действие возмущения на
основное состояние сверхпроводника | 0), мы можем исключить все члены,
содержащие операторы уничтожения, с помощью условия (11.32). После этого
остаются члены, содержащие произведения двух операторов рождения;
возмущение приводится к виду
где цк, г^ит. д. - коэффициенты преобразования (11.28). Магнитное поле
