Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
предположим, что эти состояния лежат недалеко от поверхности Ферми и вне
ее, как показано на фиг. 201, а.
Наиболее очевидный вклад в рассеяние дает прямое взаимодействие V (К),
определяемое выражением (11.2). Последнее слишком сложно для наших целей.
Поэтому мы выделим из него часть, описывающую притяжение, и будем считать
ее постоянной. Таким образом, амплитуда рассеяния первого порядка
принимается равной
h - V (К) = V, (11.8)
где V - отрицательная постоянная, не зависящая от к| и kj. Однако это
выражение для потенциала взаимодействия, дающее
422
Гл. 11. Сверхпроводимость
притяжение, справедливо только для электронов с почти одинаковыми
энергиями; чтобы ввести в теорию условие (11.3), положим, что потенциал V
(К) отличен от нуля, только если выполняется условие
I t (kj) - $ (k2) | < w, (11.9)
где w - постоянная. Из неравенства (11.3) явствует, что постоянная w
должна быть порядка к(c).
кг~К -к
к'
к,+К
Фиг. 201. а - прямое рассеяние электронов; б - рассеяние, соответствующее
члену второго порядка.
Обычно в задачах рассеяния аппроксимация (11.8) оказывается достаточной.
Тем не менее в ряд теории возмущений для амплитуды рассеяния будут
входить и дальнейшие члены, соответствующие последовательным виртуальным
переходам с началом в точке kj и концом в точке ki. Один из таких членов
может быть обусловлен, например, процессом, изображенным на фиг. 201, б.
Здесь между начальными и конечными состояниями вводится виртуальное
состояние, в котором первый электрон, перешедший из состояния кх, имеет
волновой вектор к4 -)- К, а второй, перешедший из состояния к2,- волновой
вектор к2 - К; затем эти электроны совершают второй переход в состояния
к| и к^.
Вклад такого процесса в амплитуду рассеяния дается обычной формулой
теории возмущений
Мк)= 3(kl) + cg(k2)_$(kl+K)-$(k2-K) • (11.Ю)
Этот член, однако, отличен от нуля лишь при очень жестких условиях.
Промежуточные состояния не должны находиться ниже поверхности Ферми из-за
принципа Паули, а разность энергий при каждом переходе не должна
превышать w, согласно (11.9). Таким
§ 2. Куперовские пары
423
образом, чтобы выражение (11.10) вообще давало вклад в t2, надо
удовлетворить условиям
nF < % (к, + К) < % (к,) + w,
(11.11)
%V < % (ка - К) < % (к2) + W
и т. д. Условия (11.11) аналогичны правилам отбора для виртуальных
переходов с перебросом спина в эффекте Кондо (§ 6 гл. 10); числа
заполнения различных состояний в членах второго порядка взаимно не
уничтожаются при учете как прямого, так и обменного процессов.
Эти условия являются настолько жесткими, что обычно мы можем пренебречь
величиной t2. Если, однако, векторы кх и к2 направлены почти в
противоположные стороны, то два условия (11.11) сливаются и не
накладывают столь сильного ограничения на область значений К, в которой
рассеяние возможно. Фактически вклад t2 в этом случае может стать
довольно большим.
Чтобы убедиться в этом, удобно совместить начало отсчета энергии с
уровнем Ферми. Введем для каждого состояния величину
I (к) == % (к) - %F да HvF (к - kF) (11.12)
(последнее равенство справедливо, если к почти равно kF). Введем также
две новые вспомогательные переменные размерности энергии
А = I (kx) + I (к2), г] = hvF | к, + к2 |; (11.13)
они характеризуют полную энергию и полный импульс пары электронов.
Чтобы найти член второго порядка теории возмущений, проинтегрируем
выражение (11.10) по всем значениям К, удовлетворяющим условиям (11.11).
Используя определения (11.12) и (11.13), можно привести результат к более
простому виду
f Т'* Г dK
J H(ki) + g(k2) -S(ki + K) -$(к2-К) -
- 2nV4* [ d% f ^cos6>_ (И 14)
_ &n4vF J "5 J Д+т)cos0-2|
о -1
Когда величины А и г) малы по сравнению с w, в подынтегральном выражении
имеется сингулярность, и поэтому интеграл ведет себя логарифмически [(ср.
(10.56)):
F2 Ц? 2w ... .к.
4я2 n,vF max (Д, tj) ' (11.15)
Обычно этот член намного меньше tlt и им можно пренебречь. Но если
окажется, что А и г) очень малы, то выражение (11.15)
424
Гл. 11. Сверхпроводимость
может стать большим и может возникнуть необходимость рассматривать
следующие члены ряда теории возмущений для t.
Эти члены могут быть очень сложными, так как теперь надо рассматривать
виртуальные процессы типа изображенного на фиг. 202, а, при котором
электрон, находящийся внутри поверх^ ности Ферми, взаимодействует с одним
из электронов пары и образуется дырка, впоследствии заполняемая. Такие
процессы, однако, дают намного меньший вклад в сумму ряда теории
возмущений. Главные члены соответствуют повторенному процессу, изображен-
Фиг. 202. а - процесс, при котором дырка сначала порождается в состоянии
к3, а затем заполняется электроном, переходящим из состояния к2; б -
последовательное рассеяние пары; в - рассеяние пары с участием дырок.
ному на фиг. 201, б - пара вновь рассеивается на себе самой, как показано
на фиг. 202, б. При каждом таком виртуальном акте рассеяния добавляется
множитель типа (11.15), содержащий большой логарифмический интеграл,
