Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
обменной энергии U. Однако фактически электронный
410
Гл. 10. Магнетизм
газ представляет собой систему многих частиц, в которой наряду с
одночастичными возбуждениями имеются и коллективные колебания (ср. § 7
гл. 5). Для описания спиновой волны составим линейную комбинацию
указанных выше детерминантных функций
Yq = S^(k,q) (10.123)
к
и выберем коэффициенты At так, чтобы Tq приближенно была собственной
функцией полного гамильтониана системы. Результат по виду точно совпадает
с (10.118); энергия обращается в нуль при q0. Согласно теореме Голдстоуна
о влиянии нарушения симметрии, это с необходимостью следует из
инвариантности гамильтониана Гейзенберга (10.29) относительно поворотов
направления магнитного поля х).
Макроскопически это очевидно: в спиновой волне большой длины происходит
локальная ферромагнитная поляризация среды без резких переворотов
направлений спинов в соседних узлах. Таким образом, магнон представляет
собой коллективное возбуждение с сильной пространственной корреляцией
электронных спинов. По этой причине результаты общей теории
взаимодействия магнонов с нейтронами не зависят от того, считать ли
электроны локализованными или блуждающими, поскольку дифракционные
явления определяются только двухчастичными пространственными и временными
корреляциями (§ 8 гл. 2). Равным образом и спиновые корреляции,
содержащиеся в теории антиферромагнетизма, основанной на представлении о
волнах спиновой плотности (см. § 7 настоящей главы), дают правильные
результаты при исследовании магнитного порядка в кристалле с помощью
дифракции нейтронов (§ 6 гл. 2).
§ 12. Основное состояние антиферромагнетика
На первый взгляд легко применить метод § 11 настоящей главы и к
гейзенберговскому антиферромагнетику. Пусть имеется упорядоченная решетка
спинов Изинга; расположение спинов в ней характеризуется переменной аг,
принимающей значение 4- 1 в узле со спином, направленным "вверх",
и,значение - 1 в узле со спином, направленным "вниз". Гамильтониан можно
записать почти в том же виде, что и (10.105):
т= -2 Jw {s?s?' + y(s,+si' + srsw}-
w
-Р2 (^Sf + H-Si). (10.124)
I
1) См. также [34].- Прим. ред.
§ 12. Основное состояние антиферромагнетика
411
Наряду с внешним магнитным полем Н мы включили в это выражение "поле
анизотропии" НА, которое всегда параллельно локальной ориентации
упорядоченных поле НА направлено "вверх" в узле со спином "вверх" и
"вниз" в узле со спином "вниз". Это поле определяет лишь направление оси
квантования z (не обязательно совпадающее с направлением приложенного
поля), а в остальном оно произвольно; вскоре будет видно, зачем оно
нужно.
Определим теперь локальные операторы уничтожения и рождения через
отклонения от упорядоченного "состояния Изинга". В узлах, где Oi =
= + 1, определение совпадает с определением (10.109), а в узлах со спином
"вниз" мы меняем ролями операторы St+ и Si-, поскольку отсчет ведется от
состояния l-то иона, описываемого функцией | - S)i. Таким образом, в
каждом узле, и со спином "вверх", и со спином "вниз", равенства
s?"({5)1/2 (ai + а*),
Svl^-iel (±s)1/2(ai-at), (10.125)
Sj ~ Oi (S ¦- afai)
определяют операторы at и а*, которые уничтожают и порождают спиновые
отклонения. (Иногда определяют различные операторы на двух разных
подрешетках, но, поскольку при 1ф V операторы ai и av коммутируют, это
различие сводится к различию в обозначениях.)
Нетрудно подставить выражения (10.125) в гамильтониан (10.124). Первый
член есть "энергия Изинга"
g0= -2 Juki'S2-N$SHa, (10.126)
w
и его можно опустить. Оставшиеся члены, в которых оставлены произведения
до второго порядка по операторам ai, а*, сложны, однако их легко выписать
явно.
спинов (фиг. 196). Так,
* I *
Фиг. 196. Оси квантования в антиферромагнитной системе.
412
Гл. 10. Магнетиам
Введем теперь новые операторы уничтожения и рождения, bq и bq, с помощью
преобразования Фурье типа (10.114). Именно, положим
al = N~1,iyi bqeiq Л a? = 7V_1/*Sbqe-i4*'. (10.127)
q q
Оставшуюся после выделения "энергии Изинга" (10.126) часть гамильтониана
можно записать в виде
т=\ 2 (4, №+к,ь_ч)+sq (bqb_q+")>+н. м, (ю.ш)
q
где коэффициенты даются выражениями, аналогичными (2.12) или (10.116):
ач = $на + {ah-|- (i н-вп)coS q*h}.
h (10.129)
Bq = - 2 SJ (h) (1 - CTh) cos q • h. ь
Здесь число Сть определяет знак узла h по отношению к центральному узлу.
Можно учесть и случаи, когда J (h) описывает не просто взаимодействие
между ближайшими соседями, а более далекое взаимодействие, которое на
некоторых расстояниях может даже быть ферромагнитным, надо лишь чтобы
числа о* правильно описывали основное состояние в модели Изинга.
Внешнее магнитное поле входит в формулу (10.128), будучи умножено на
сложный оператор М. Мы не будем пытаться определить его в общем виде. В
ряде простых случаев можно показать, что он соответствует моменту,
проекция которого на ось z как бы меняет знак в узлах двух подрешеток.
Это результат нашего произвольного определения локальных осей квантования
