Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в той же самой области сжатия решетки
Фиг. 200. Взаимодействие электронов друг о другом посредством обмена
фононами.
Для вычисления этой силы проще всего представить ее как результат
испускания "виртуального" фонона одним электроном и поглощения его
другим. Рассмотрим процесс, изображенный на фиг. 200, а. Электрон в
состоянии к испускает фонон и переходит в состояние к - К. Электрон в
состоянии к' поглощает этот фонон, переходя в состояние к' + К. Во втором
порядке теории возмущений этот переход характеризуется матричным
элементом
(к - к, кЧ КI v | к, к') = • (11Л>
Здесь e/Xt' к-к - матричный элемент взаимодействия электронов с фононами,
как и в § 13 гл. 6. Энергетический знаменатель описывает переход из
начального в промежуточное состояние, включающее вновь созданный фонон с
энергией hvq; для нормальных процессов q = К, однако можно включить и
электрон-фононные процессы переброса.
Есть еще один процесс, дающий вклад в полное рассеяние (см. фиг. 200, б).
Здесь фонон с волновым вектором - q испускается электроном в состоянии к'
раньше, чем его поглотит электрон в состоянии к. Этому процессу
соответствует матричный элемент
420
Гл. 11. Сверхпроводимость
типа (11.1), но с несколько иным знаменателем. Объединяя эти два процесса
и считая, что электрон-фононные матричные элементы в основном одинаковы,
получаем
(к__к k'4-KIVIk к'>-----------1°^к,к-к1 2^vg Ж
[К К -f-K| V |К, К )- ^ (k)_cg (k_K)}2_(SVq)2- \п--)
Электроны при этом ведут себя так, как если бы между ними имелось прямое
взаимодействие, фурье-образ потенциала F(K) которого дается выражением
(11.2). Обычно это выражение положительно, но в узком интервале энергий,
в котором
| % (к) - % (к - К)| < Avq> (11.3)
оно отрицательно и соответствует притяжению. В области (11.3) •фурье-
компоненты потенциала притяжения равны
2 I t к I2 У(К)"--------^ (И.4)
Эта сила, по-видимому, не очень велика. Мы рассматриваем область очень
низких температур, так что можно принять, что процессы испускания фононов
связаны с пулевыми колебаниями решетки. Из формул (2.109), (6.86) и
(6.93) получаем
13/4i-K ?=\и (К) I" I K.uq I2=I и (К) I2 ' (и-5)
где 41 (К) - фурье-образ экранированного потенциала иона. При наличии
только нормальных процессов, в случае когда для скорости звука
справедливо выражение (6.84), мы имеем
Г/Ю-. 1^(К)12?2 1^(К)1а 3 |И(К)|" 7116
v (К) - JVMV^ - D0S2 - 2 NZ%f •
Таким образом, эффективное взаимодействие не убывает быстро в области
значений К, соответствующей нормальным процессам. Для больших значений К
процессы переброса несколько увеличивают V (К), хотя примешивание плоских
волн к блоховским функциям электрона, обсуждавшееся в § 13 гл. 6 и § 5
гл. 7, ликвидирует особенность при К = g. Очевидно, притяжение является
короткодействующим - матричные элементы его велики вплоть до
максимального значения импульса, передаваемого от одного электрона к
другому.
Наряду с этим имеется и обычное кулоновское отталкивание между
электронами. Соответствующий матричный элемент, как и в формуле (5.32),
равен
^сои1(К) = ^^, (11.7)
§ 2. Куперовские пары
421
где К - параметр экранирования, определяемый (5.22) или же каким-нибудь
более сложным выражением, как в формуле (5.36). Для оценки
рассматриваемого взаимодействия Фрелиха возьмем сумму выражений (11.4) и
(11.7). Критерий сверхпроводимости заключается в том, чтобы
результирующее взаимодействие было отрицательным. Этот критерий не
удается представить в какой-либо очень простой форме через электрон-
фононное взаимодействие, но имеются указания на то, что существенную роль
играет величина "псевдопотенциальной части" Т' (К) в формуле Бардина
(6.93).
Вышеприведенное рассуждение очень просто; для того чтобы обосновать его
должным образом, нужно исследовать различные процессы, дающие вклад в
энергию единой системы электронов и фононов, включая перенормировку звука
(см. § 11 гл. 6). Следует отметить, что мы имеем дело с электронами,
находящимися в очень узком интервале значений энергий (11.3); вне этого
интервала решетка движется слишком медленно и не успевает следовать за
движением электронов. Но, поскольку наиболее существенный вклад во
взаимодействие происходит от довольно больших значений К, соответствующих
большим значениям q, этот интервал имеет величину порядка к&, где 0 -
температура Дебая. Так как сверхпроводимость наблюдается только при очень
низких температурах, этот интервал значительно превышает кТ - толщину
"теплового слоя" на поверхности Ферми. Таким образом, приближение (11.4)
оправдано для электронов-, которые действительно могут принимать участие
в переходе в сверхпроводящее состояние.
§ 2. Куперовскпе пары
Чтобы оценить величину силы притяжения, возникающей вследствие обмена
фононами между электронами, вычислим полную амплитуду рассеяния t, т. е.
матричный элемент, квадрат модуля которого дает вероятность процесса,
когда электроны из состояний кг и к2 рассеиваются в состояния kj и к'. Мы
