Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Займан Дж. -> "Принципы теории твердого тела" -> 147

Принципы теории твердого тела - Займан Дж.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела — М.: Мир, 1966. — 478 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriitverdogotela1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 174 >> Следующая

функция гамильтониана SS. Для этой цели введем
§ 11. Спиновые волны
405
два новых оператора для спина в каком-либо узле (временно опустим индекс
узла I):
S+ = S* + iSy, Sx - iSy. (10.103)
Это операторы спиновых отклонений. Посмотрим, как действует оператор S+
па какую-либо из собственных функций оператора S2. Легко видеть, что в
результате получается другая собственная функция S2. Так, используя
обозначения (10.101) и принимая во внимание известные правила
перестановки для спиновых операторов, мы получаем
S2 {S+1 S')}~ S2 (SX-MS'') | S') -
=¦ {(S*SZ + iSv) + i (SUSZ- iSx)} | S') = S+S21 S') + S+1 S') =
= S+ (S' + 1) I S') = (S' +1) (S+1 5')}. (10.104)
Таким образом, S + I S') совпадает с собственной функцией оператора S2,
принадлежащей собственному значению 5' -f- 1, т. е., другими словами, с
функцией IS'-f- 1). Оператор S+ увеличивает на единицу величину проекции
спина на ось г. Аналогично оператор S~ уменьшает S' на один квант.
Принимая во внимание определения (10.103), легко переписать гамильтониан
в виде
т = - 2 Ju' {siszr++ s?sr)} • (ю. io5)
и-
Когда гамильтониан SB действует на функцию (10.102), вклад дают только z-
компоненты:
<й?|0)=-3/|г52|0). (10.106)
IV
Действуя на функцию | S )*, оператор St дает нуль, ибо собственные
значения оператора SI не могут превышать максимального значения S. Таким
образом, функция |0), описывающая упорядоченное состояние, есть
собственная функция полного гамильтониана.
Рассмотрим теперь возбуждения системы. Естественно предположить, что они
соответствуют состояниям, в которых одна из компонент спина изменила свое
значение (спин "отклонился", как показано на фиг. 195, а).
Соответствующая волновая функция, однако, не есть собственная функция
гамильтониана в результате действия оператора SjSI' возникает другое
состояние, изображенное на фиг. 195, б, где спиновое отклонение
переместилось на соседний узел. Классификация состояний, использованная в
модели Изинга (например, фиг. 185), здесь оказывается непригодной;
отклонения спинов перемещаются по решетке.
406
Гл. 10. Магнетизм
Этот обменный эффект весьма напоминает процесс передачи электронов от
одного атома к другому в модели сильной связи
imti nmi
Фиг. 195. Оператор StSr перемещает спиновое отклонение.
для блоховских функций (§ 4 гл. 3) и, как мы увидим, описывается
аналогичными соотношениями. Математически задача формулируется следующим
образом.
Предположим, что S - довольно большое число (например, 6/2). В результате
действия оператора S- "порождается спиновое отклонение". Вместо того
чтобы использовать классификацию (10.101), запишем
п = S - S', (10.107)
и пусть функция | п) описывает состояние, в котором имеется п квантов
спиновых отклонений.' Пока n<i2S, операторы S-и s+ могут свободно
порождать и уничтожать эти кванты. Таким образом, они обладают некоторыми
свойствами операторов рождения и уничтожения, вводимых в обычной теории
простого гармонического осциллятора (ср. § 11 гл. 2).
Чтобы формально доказать это, вычислим коммутатор
[S+, S~] = i [Sy, S*]-*'[SX, S"] = -2i(iSz) = 2S2. (10.108)
Таким образом, если положить
S+ * S-
а -* 1,- • & - гг- •
(2S*) (2S*)1/a
то операторы а ж а* удовлетворяют стандартному правилу перестановки
[а, а*] = 1 (10.110)
и эрмитово сопряжены друг другу.
Определение (10.109) оставляет неопределенным порядок следования
операторов S+ и IS*]-1/2; это может оказаться существенным, поскольку
данные операторы не коммутируют. Но если число S достаточно велико,
ошибкой можно пренебречь и заменить оператор 2S2 числом 2S, поскольку мы
будем рассматривать только состояния, близкие к полностью упорядоченным.
В этом приближении состояния с заданным числом спиновых отклонений
(10.109)
§ 11. Спиновые волны
407
описываются собственными функциями | п) оператора а*а, и мы можем
написать
а | п) = п1г | п - 1), а* | п) = (п 4 1)1/21 п -|-1). (10.111)
Из определения п вытекает также равенство
S z = S-a*a. (10.112)
Подставим теперь соотношения (10.109) и (10.112) в гамильтониан (10.105).
Если отбросить член порядка a*aia*>ai>, то приближенно гамильтониан
принимает вид
~ - 2 3>>' | (S -¦ a*ai) {S - я*яг') + - 2S(a*av -(- aid*) ^ ~
IV
~ is* + s М' + a*ai' - a*ai - а*'М) • (10.ИЗ)
IV
Первый член здесь описывает энергию основного состояния (10.106),
остальные члены представляют собой операторы, явно описывающие передачу
спиновых отклонений от одного узла к другому. Это сильно напоминает
ситуацию в динамике решетки, где смещение решетки передается от одного
узла к другому под действием упругих сил или, как уже отмечалось,
аналогично приближению сильной связи для электронных волн. Собственные
функции гамильтониана можно найти с помощью того же приема, что и в § 1
гл. 2; подставим следующие выражения для операторов уничтожения и
рождения в каждом узле:
ai^N'^Jlaqeiv1, at = N~1/z 2 а*е^ч-1. (10.114)
q q
Эти выражения эквивалентны формуле (2.8); волновые векторы q
удовлетворяют тем же условиям, что и в динамике решетки, а новые
Предыдущая << 1 .. 141 142 143 144 145 146 < 147 > 148 149 150 151 152 153 .. 174 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed