Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
операторы ач и а\[ удовлетворяют правилам перестановки (10.110).
Подставляя выражения (10.114) в гамильтониан (10.113) и используя тот
факт, что Jw зависит только от h = I - V [как в случае (2.6)], находим
= + 2 (2 25/(h) (l-e-iq-*)}^,,, (10.115)
q h
где оператор не зависит от aq, а,. Видно, что SB - Зв0 есть гамильтониан
системы простых гармонических осцилляторов, причем каждому волновому
вектору q соответствует один осциллятор, и энергетические уровни каждого
осциллятора суть
g, = nq22S/(h)(l -(10.116) h
408
Гл. 10. Магнетизм
Другими словами, операторы aq, йц представляют собой операторы
уничтожения и рождения для спиновых волн, представляющих собой
элементарные возбуждения системы. Единицей квантования энергии q-й моды
спиновой волны служит величина
^соч=5]25/(Ь)(1-е-{ч-ь). (10.117)
h
По аналогии с фотонами, фононами и плазмонами такое элементарное
возбуждение иногда называют магноном.
Для простой решетки с взаимодействием только ближайших соседей при малых
значениях волнового вектора сумму в формуле (10.117) легко вычислить:
/koq л; 2SJq2a2, (10.118)
где а - постоянная решетки. Энергия магнона оказывается, таким образом,
пропорциональной квадрату его волнового вектора, как и энергия электрона.
Поэтому можно определить "эффективную массу" т,*, такую, что
(10.119)
Для типичного ферромагнетика с температурой Кюри порядка нескольких сотен
градусов Кельвина [согласно (10.34), температура Кюри определяет величину
/] эффективная масса т* примерно в 10 раз превышает массу свободного
электрона.
Из формы спектра возбуждений вытекает ряд простых следствий. Например,
поскольку магноны подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна, для вычисления
среднего числа заполнения каждой моды можно использовать формулу (2.46):
"ч= haJkT 7 • (10.120)
е 4 - 1
Считая справедливым соотношение (10.118) и вычисляя полное число магнонов
во всех модах, возбужденных при температуре Т, мы получаем
-L f 4яд2 dq _ N ( kT_\3h f х /2 dx ,1П "
8л3 J exp (2SJa2qi/kT) - 1 in* \2SJ / J e* -1 ' ^ '1
0 0
Но каждый магнон соответствует возбуждению одного спинового отклонения,
он уменьшает полный спин системы NS на единицу [это можно проверить с
помощью формул (10. М 2) и (10. М 4)]. Таким образом, возбуждение п
квантов уменьшает полный спин на п, и намагниченность при возрастании
температуры должна убывать, согласно формуле
М
(Т) - М(0) { 1 - y ()3/2 j , (10.122)
§ 11. Спиновые волны
409
где М (0) - намагниченность насыщения при Т = 0, а у - число, которое
можно найти, вычислив определенный интеграл в выражении (10.121).
Далее, из формулы (10.118) следует, что магнопы должны давать вклад в
удельную темплоемкость. Очевидно, что добавление множителя /zcoq в
подынтегральное выражение в формуле (10.12!) [ср. (2.49)] приведет к
появлению дополнительной степени Т при вычислении средней энергии $. При
дифференцировании (для вычисления теплоемкости) эта дополнительная
степень Т снимается, и, таким образом, удельная теплоемкость
пропорциональна
Т3/2 _
Спиновые волны в ферромагнитных средах обладают рядом других интересных
свойств. Они могут, например, взаимодействовать с фононами и приводить к
неупругому рассеянию нейтронов, подобно упругим волнам в решетке. Общие
рассуждения § 8 гл. 2 применимы к этому случаю и дают законы сохранения
энергии и квазиимпульса.
С общетеоретической точки зрения содержание настоящего параграфа сводится
к доказательству теоремы Блоха (§ 4 гл. 1) для собственных функций
спинового гамильтониана (10.100). Последний инвариантен относительно
трансляций решетки, так что состояния системы можно классифицировать с
помощью волнового вектора, а спектр должен обладать свойствами,
установленными в § 5 гл. 2. Тем не менее при сведении гамильтониана к
виду (10.113) потребовалось выбросить много членов (возникших главным
образом при определении операторов а ж а* через спиновые операторы S + и
S'). Эти члены приводят к взаимодействию спиновых волн, вызывая появление
следующих членов разложения намагниченности (10.122) по степеням Т. Дело
в том, что число спиновых отклонений, которые могут быть созданы в одном
узле, не превышает 2S. При высокой концентрации магнонов появляется
тенденция превысить этот предел и нарушаются предположения о
независимости и возможности суперпозиции. Фактически упорядоченное
состояние при этом разрушается, и мы проходим через точку Кюри; вся схема
приближенного рассмотрения становится тогда неприменимой.
При выводе спектра ферромагнонов мы исходили из модели Гейзенберга (см. §
4 настоящей главы). Эквивалентные в физическом отношении следствия
получаются, однако, и при использовании картины блуждающих электронов
(см. § 5 настоящей главы), несмотря на то, что снины их не локализованы в
узлах решетки. Действительно, пусть надо получить состояние с детер-
минантной волновой функцией W (k, q), в котором один электрон из
состояния | к, + > переведен в другое состояние | к + q, - > с
перевернутым спином. Казалось бы, для этого нужна энергия порядка
