Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. Модель Изинга
391
в формулу (10.51) для Хо (q), определяются исходной зонной структурой.
Тогда из результатов § 4 гл. 5 ясно, например, что волновые векторы q,
лежащие на параллельных плоских участках поверхности Ферми, могут
приводить к большой} величине %0 (q), поэтому условие (10.68) может
выполниться. В этом случае антиферромагнитное упорядочение будет иметь
чрезвычайно сложный характер: изменения спиновой плотности эквивалентны
геликоидальному расположению спиновых моментов на конусе, а длина,
определяющая повторяемость картины, никак не связана с основной
кристаллической решеткой.
§ 8. Модель Изинга
При рассмотрении ферромагнетизма и антиферромагнетизма мы использовали
очень грубое приближение для состояний гамильтониана (10.29).
Действительно, мы предположили, что все спиновые моменты, за исключением
рассматриваемого явно, равны своему среднему значению; мы пренебрегли
флуктуациями и корреляциями спинов, находящихся в соседних узлах. Более
того, мы не учитывали того факта, что величины Si суть операторы, которые
нельзя заменять их средними значениями.
Распределение собственных значений спинового гамильтониана является в
действительности очень сложным, и строгое рассмотрение термодинамики
такой системы составляет одну из наиболее важных задач в теории твердого
тела. Теория получила развитие в двух направлениях. Во-первых, можно
принять, что система находится вблизи основного состояния
(ферромагнитного или антиферромагнитного), и можно тогда рассматривать
возбуждения с малой энергией. Это - теория спиновых волн, основные
положения которой изложены в § 11 настоящей главы.
Во-вторых, можно использовать приближение, состоящее в пренебрежении
недиагональными элементами спиновых операторов и рассмотрении только их
проекций на какое-нибудь выделенное направление, обычно на направление
поля Н. Другими словами, мы считаем, что уровни энергий системы даются
выражением
%= (10.69)
w I
где для каждого узла I определяется "спиновое" квантовое число стг,
которое может принимать только два значения: +1 и -1. В большинстве
случаев мы предполагаем также, что Jw отлично от нуля лишь для
взаимодействия ближайших соседей в решетке.
Это есть модель Изинга. Она не дает точного описания ферромагнитной или
антиферромагнитной системы, однако подобное упрощение чрезвычайно трудной
задачи об отыскании собственных функций системы спинов позволяет
сосредоточиться на комбина-
392
Гл. 10. Магнетизм
торной задаче о статистическом распределении состояний такой системы.
Модель Изинга на самом деле более точно описывает другой тип системы -
сплав, в котором атомы двух элементов А и В могут замещать друг друга в
фиксированных узлах решетки (фиг. 185). Можно сказать, что значение о/ =
+ 1 соответствует
в г
Фиг. 185. Конфигурация, описываемая моделью Изинга (а), может
соответствовать системе спинов (б), системе атомов в бинарном сплаве (в)
и "решеточному газу" (г).
нахождению атома А в узле I, значение oi = - 1 свидетельствует о том, что
в этом узле находится атом В. Под "обменным интегралом" J в этом случае
следует понимать величину
^ = {{Гдв-у(ГАА + Гвв)}, (10.70)
где *?'ав - энергия взаимодействия между атомами А и В, расположенными в
соседних узлах, из которой мы вычитаем среднюю энергию пары АА и пары ВВ.
Такие сплавы можно исследовать экспериментально. При этом было
обнаружено, что в них происходит переход при некоторой
§ 9. Комбинаторный метод
393
температуре, аналогичной температуре Кюри или температуре Нееля. Выше
точки перехода сплав разупорядочен. При более низких температурах он
стремится упорядочиться или путем разделения на области, содержащие почти
чистый материал А и почти чистый материал В (это будет иметь место при /
> О, что соответствует ферромагнетизму), или путем образования областей,
в которых атомы А и В регулярно расположены па вставленных друг в друга
подрешетках - аналог антиферромагнетизма. Разница между переходом порядок
- беспорядок и ферромагнитным или антиферромагнитным переходом состоит в
том, что в первом заданы по отдельности полные числа атомов типа А и
атомов типа В, тогда как спины, направленные "вверх" и "вниз", могут
свободно переходить друг в друга. Эту разницу можно формально учесть в
теории, так что многие результаты справедливы для обоих типов систем.
Другая задача, к которой применима модель Изинга, есть задача о
"решеточном газе", или о "решеточной жидкости", когда атомы,
взаимодействующие друг с другом с помощью короткодействующих сил,
располагаются в некоторых узлах решетки, оставляя свободные узлы.
Формально эта задача эквивалентна задаче
о сплаве. Сомнительно, однако, чтобы эта модель была применима к
термодинамике перехода жидкость - газ, как это иногда считается.
Важность модели Изинга состоит, однако, не в том, что она описывает
конкретные физические явления. Существенно другое: это есть модель
системы, в которой наблюдаются кооперативные явления и фазовые переходы,
