Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Займан Дж. -> "Принципы теории твердого тела" -> 143

Принципы теории твердого тела - Займан Дж.

Займан Дж. Принципы теории твердого тела — М.: Мир, 1966. — 478 c.
Скачать (прямая ссылка): principiteoriitverdogotela1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 174 >> Следующая

и притом модель, допускающая математическое рассмотрение. В этом смысле
она скорее лежит в рамках статистической механики, чем теории твердого
тела. Тем не менее некоторые принципы, иллюстрируемые этой моделью, важны
для общей теории кристаллической решетки, и мы сейчас попытаемся их
объяснить.
§ 9. Комбинаторный метод
Преимущество модели Изинга состоит в том, что расчет термодинамических
свойств в ней можно свести к комбинаторной задаче. Пусть, например, мы
ищем статистическую сумму
Z=2e-^r, (10.71)
где суммирование проводится по всем "конфигурациям", т. е. по всем
возможным расположениям спинов "+" и "-" в N узлах решетки. Эта сумма
кажется очень сложной, но формально суммирование можно проводить лишь по
двум переменным, например: Na - числу спинов, направленных "вверх" (или
атомов сорта А),
394
Гл. 10. Магнетизм
и Nав - числу пар соседних антипараллельных спинов (или числу пар А В).
Чтобы убедиться в этом, выразим энергию (10.69) через полные числа связей
различных типов
% = / (Nab - Naa - NBB) - P# (NA - NB). (10.72)
Эти переменные, однако, не независимы. Очевидно, что
Na + Nb= N.
Очевидно также, что может быть только pNА связей, оканчивающихся в узлах
типа А, где р - координационное число решетки (т. е. число ближайших
соседей для данного узла). Каждую из связей типа АА нужно сосчитать
дважды, а каждую из связей типа А В - один раз. Таким образом, 2NАа + NАв
= pNA] аналогично 2Nвв -f NАв = pNв. С учетом этих условий выражение
(10.72) принимает вид
Ш = -jpNJ+2NABJ-(2NA-N)$ff. (10.73)
Обозначим теперь через g (N; Na, NАв) полное число способов, которыми
можно разместить в решетке NA спинов, направленных "вверх", так, чтобы
при этом было точно NAB пар соседних антипараллельных спинов. Все эти
конфигурации соответствуют одной и той же энергии; соответственно
статистическую сумму (10.71) можно представить в виде
Z = y'Mz-'lvH 2 g (N-, Na, Nab) yNAZNAB = na> nab
= jf/*z-4v"Air(y,z)1 (10.74)
где переменные у и z связаны с магнитным полем и энергией взаимодействия
J:
ys=e№JhT. z^se-WhT' (10.75)
Все интересные свойства системы заключены теперь в функции Ах, из которой
можно получить формулы, относящиеся к "ферромагнитным" и
"антиферромагнитным" системам или к теории распада сплава на фазы и к
теории упорядоченных растворов.
Однако задача о вычислении комбинаторного множителя в (10.74) в общем
случае не решается; известны лишь приближенные выражения. Нетрудно
вычислить полное число конфигураций для заданной величины NA (фиг. 186).
Из элементарной алгебры следует, что оно должно быть равно полному числу
способов, которыми можно разместить NA предметов в N местах
2 g(m na, nab)=-- . (Ю.76)
*АВ
§ 9. Комбинаторный метод
395
Трудность состоит в том, чтобы разделить это полное число конфигураций на
отдельные числа, соответствующие каждому значению N Ав.
Используя очень грубое приближение, можно снять суммирование по NАВ,
предположив, что все числа NАв равны своему среднему значению. Иначе
говоря, мы распределяем случайным образом NА атомов сорта А и NB атомов
сорта В по узлам решетки и вычисляем вероятность того, что какая-нибудь
из V2 pN связей
+ + + - -_ 1-1-)- -J nab = 1 I + I + + I + + I + I I + + I + !+ I +
I L - J
Г + + +П i j СО II Со
н ь +
- + + + - !+-+-+! L J
N/ib - 2
Фиг. 186. Вычисление числа конфигураций для цепочки с N = 5, NА - 3. Для
этой системы (NAB> = 2,4.
имеет на одном конце атом А, а на другом - атом В. Результат, конечно,
равен
(Nab) = 2 4г4-pN = . (10.77)
Подставляя выражения (10.76) и (10.77) в формулу (10.74), получаем
(10-78)
na
Отсюда можно вычислить свободную энергию, беря наибольший член в
аргументе логарифма и разлагая его асимптотически с помощью формулы
Стирлинга. Таким образом,
F = -kT\nAN za
ж кТ { - ЛГ1пЛГ + ЛГА1пЛГА + ЛГв1пЛГв-.ЛГА1п у-р ^^2lnz} .
(10.79)
Условие минимума свободной энергии, или максимального члена суммы,
получается путем дифференцирования этого выражения
396
Гл. 10. Магнетизм
по N А (при этом следует, разумеется, положить Nв = N - NА). Используя
определение (10.75), находим
1- ЛТ 1_ АГ 2ря Na-Nb 2pj А
\nNA-\nNB-----ш-------^-----=
т. е.
или
<11Ш>
Если положить (NА - NB)/N равным средней результирующей поляризации
системы (ц) и выразить pJ через молекулярное поле, как в формуле (10.33),
мы вновь возвращаемся к условию Кюри - Вейсса (10.26) для ферромагнитного
перехода. В теории сплавов это приближение известно под названием
приближения Брэгга - Вильямса.
Приведенный выше вывод элементарной формулы для молекулярного поля
показывает область ее применимости; при выводе не учитываются корреляции
между соседними спинами. В ферромагнетике, например, вследствие тенденции
к параллельному расположению спинов следует ожидать, что замена NАв
средним значением (10.77), вычисленным без учета корреляции, приводит к
завышению числа пар АВ по сравнению с реальной равновесной конфигурацией.
Интересный способ улучшить теорию состоит в использовании
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 174 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed