Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
любой решетке, бесконечной лишь в одном измерении, особенности
отсутствуют. Мы имеем здесь характерный пример справедливости утверждения
о том, что одна цепочка не образует кристалла. Это должны твердо помнить
все, кто занимается изучением физики конденсированного состояния.
+ + + + + + + + +
а
+ + + +)-----------------------
5
Фиг. 191. Дальний порядок в ли-- Фиг. 192. Область с измененны-нейной
цепочке (а) нарушается уже ми направлениями спинов,
при появлении одного разрыва (б).
Нетрудно показать, что в случае двумерной решетки сказанное уже
несправедливо. Пусть, например, образовалась замкнутая область с
измененными направлениями спинов, как показано на фиг. 192. Пусть эта
область ограничена многоугольником с периметром L, т. е. на границе между
двумя областями будет расположено L связей типа АВ. Таким образом,
энергия системы увеличится на 2LJ. Какова же энтропия, связанная с этой
энергией? Вообще говоря, в каждом узле границы можно выбрать одно из трех
направлений, так что границу можно провести примерно 3? различными
способами. Фактически это число несколько завышено, поскольку граница
замкнута, но когда L велико, вносимая при такой оценке ошибка
несущественна. Таким образом, вклад в свободную энергию равен
F " 2LJ - kT In 3L = L (2J - kT In 3). (10.97)
Этот вклад становится положительным при
кТ<~. (10.98)
Ниже такой температуры упорядоченное состояние должно быть устойчивым.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
>+
+
+
+
+
+
+
§ 10. Точные решения задачи Изинга
403
Это грубое рассуждение можно подкрепить строгим расчетом, так как второй
случай, когда модель Изинга допускает точное решение, есть как раз случай
двумерной квадратной решетки. Принадлежащее Онзагеру доказательство того
факта, что такая система "ферромагнитна" (или "антиферромагнитна") ниже
температуры, определяемой соотношением
yi)' ¦ {>0Ж)
требует привлечения алгебраических теорем, далеко выходящих за рамки
настоящей книги [хотя исходным пунктом служит, по существу, соотношение
(10.92)].
Наиболее интересная особенность результата Онзагера состоит в том, что,
хотя сама свободная энергия зависит от температуры непрерывно, удельная
теп-
лоемкость обращается в бесконечность по логарифмическому закону по обе
стороны от температуры Кюри (фиг. 193). Фактически особенность такого
типа не наблюдалась ни в одном из твердых тел, однако это может быть
связано с тем, что очень трудно создать двумерную решетку Изинга.
Метод Онзагера можно применить также и к некоторым другим двумерным
решеткам, обладающим аналогичными свойствами;
существует ряд красивых топологических теорем, позволяющих найти
положение точки перехода в других случаях. Однако для двумерной
ферромагнитной решетки Изинга, находящейся в конечном магнитном поле,
точное решение не найдено.
Для трехмерных решеток вообще не найдено точных решений задачи Изинга.
Можно быть уверенным, что из решений будет следовать наличие дальнего
порядка, поскольку топологические условия здесь еще более благоприятны
для кооперативных явлений, чем в случае двух измерений, а положение точек
Кюри можно найти с достаточной точностью с помощью разложений в ряды.
Из изложенного вытекает один важный принцип. Согласно методу Бете,
переход порядок - беспорядок должен зависеть только от координационного
числа р [ср. (10.85)1. Так, двумерная решетка, состоящая из
треугольников, и трехмерная простая
Фиг. 193. Удельная теплоемкость квадратной плоской решетки (формула
Онзагера).
404
Гл. 10. Магнетизм
кубическая решетка должны обладать одинаковыми свойствами, поскольку обе
они характеризуются координационным числом р = 6 (фиг. 194). Фактически
они ведут себя совершенно по-раз-
фиг. 194. Координационные числа треугольной плоской решетки (а) и про*
стой кубической решетки (б) совпадают.
ному - температурные кривые удельных теплоемкостей и температуры перехода
для этих решеток различны. Размерность решетки играет фундаментальную
роль в кооперативных явлениях и вообще при рассмотрении многих свойств
твердых тел.
§ 11. Спиновые волны
Вернемся к спиновому гамильтониану (10.29) и предположим, что обменный
интеграл отрицателен. В отсутствие магнитного поля
'¦fo'Sf Sr. (10.100)
iir
Пусть S - полный спин каждого иона. Мы можем классифицировать спиновые
состояния ?-го иона, задавая собственные состояния оператора z-компоненты
спина St- Так, для состояпия с проекцией спина на ось z, равной S', мы
имеем
Sf|5')i = 5'|5'), (10.101)
(в этом параграфе мы положили h = 1).
В общей теории ферромагнетизма предполагается, что в основном состоянии
гамильтониана Зё все спины максимально упорядочены в направлении оси z.
Допустим теперь, что собственную функцию, описывающую это состояние,
можно записать в виде
|0) = 15)! | S)2 | S)a. . . | Sh. . . I 5>w, (10.102)
где в каждом из узлов решетки Sz принимает максимальное значение, равное
S.
Легко проверить, что выражение (10.102) действительно есть собственная
