Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
порядка; б - наличие ближнего порядка вовсе не означает, что имеется
дальний порядок.
Мы уже отмечали, что метод Брэгга - Вильямса вообще не дает какого-либо
ближнего порядка, исключая ближний порядок, навязываемый предположенным
дальним порядком (фиг. 189): выше температуры Кюри распределение
считается полностью случайным, так что поведение каждого спина не зависит
от деталей поведения его соседей. Метод Бете дает ближний порядок при
температурах выше Тс и, следовательно, является более реалистическим. Оба
метода достаточно хорошо описывают общие свойства упорядоченного
состояния в дальнем порядке, поскольку оно уже установилось, но с их
помощью нельзя доказать, что такое состояние существует.
*) Для ферромагнетика достаточно знать направление только одного спина
для того, чтобы определить направление поляризации всей решетки. Для
антиферромагнетика направление спина в удаленном узле будет зависеть,
разумеется, от того, принадлежит ли этот узел той же подрешетке, что и
первый узел, или нет.
400
Гл. 10. Магнетизм
§ 10. Точные решения задачи Изинга
Оказывается, что задача Изинга допускает точное решение в двух частных
случаях. Один из них тривиален, и доказательство проводится просто;
второй случай нетрудно указать, но вывод окончательной формулы для
статистической суммы слишком сложен, и мы не будем его здесь приводить.
Тривиальный случай - это случай линейной цепочки, решение для которой мы
приведем, поскольку он иллюстрирует общую технику. Рассмотрим решетку,
состоящую из N "слоев". В одномерном случае такой "слой" - это просто
отдельный узел, в двух измерениях - это ряд атомов и т. д.
Пусть теперь Vj определяет "состояние" /-го слоя, например в двумерном
случае Vj представляет собой символ типа
----определяющий направления спинов всех атомов
/-го ряда. Мы предполагаем, что только соседние слои взаимодействуют, т.
е. что энергию можно записать в виде
S = 2 Г (VJ, Vj+1) +%Г (Vj) (10.88)
j= 1 }=1
(мы включили сюда "внутреннюю энергию" каждого слоя и ввели циклические
граничные условия:. viV+i = vx, как в § 6 гл. 1).
Статистическую сумму рассматриваемой системы можно теперь представить
следующим образом:
z=22 ••• 2 (IX ex4-------------------------йт-------------]}¦
VI V2 vN j= 1
(10.89)
Но это есть не что иное, как развернутая запись произведения матриц с
элементами
Г ^(v^vj+1) + Va^(vj) + Va^+i)n
=ехр L-----------------ш---------------J (10-9°)
с учетом того, что индекс vj может пробегать два или более значений в
зависимости от сложности слоя. Таким образом, формула (10.89) дает
Z = Sp(/>w) = 2^, (Ю.91)
i
где числа суть собственные значения матрицы Р, определяемой формулой
(10.90). Практически мы полагаем, что число N велико, т. е. что длина
нашей цепочки почти бесконечна, так что в сумме играет роль лишь
наибольшее собственное значение матрицы Р. Тогда получается
- kTlnZ-+-NkTlnXuaKCt (10.92)
§ 10. Точные решения задачи Изинга
401
откуда, в частности, видно, что свободная энергия есть экстенсивная
величина.
В случае одномерной цепочки индекс V] обозначает просто величины + 1 и -
1, которые может принимать спин Oj. Матрицу (10.90) в обозначениях
(10.75) можно записать в виде
(v-1lzz-1lz z1^2 \
Р=( zx/2 уЧч-Ч*) ' (10.93)
Собственные значения ее равны
= -у {(1 + У) ± 1Л(1 - */)2 + 4г/г2]} у-Чч-Ч*. (10.94)
Подставляя Я,+ в выражение (10.92), получаем решение задачи.
Интересная особенность этого результата состоит в том, что свободпая
энергия F есть непрерывная - без особенностей - функция у и 2, т. е. Н и
Т. Можно вычислить удельную теплоемкость (фиг. 190) в отсутствие поля,
она равна
(10.95)
Теплоемкость пмест плавный максимум в окрестности кТ = J, но не
обнаруживает фазового перехода.
Более того, решение, соответствующее самопроизвольной намагниченности при
Н = 0, отсутствует. Линейная цепочка не ферромагнитна. Это не очевидно из
формулы Брэгга - Вильямса (10.81), но проявляется в методе Бете, где, как
видно из формулы (10.85), Тс -> 0, когда координационное число р
стремится к 2. Этот же результат, разумеется, справедлив и для
антиферромагнетизма.
Важно понять, что это топологическая теорема; тот факт, что в методе Бете
при р = 2 температура перехода обращается в нуль, мог бы оказаться и
случайным. Дело, однако, в том, что линейную цепочку слишком легко
разорвать в любом месте.
При образовании лишь одного разрыва, приводящего к уничтожению дальнего
порядка (фиг. 151), энергия системы возрастает на 2/. Поскольку разрыв
может произойти на любом из N узлов цепочки, энтропия увеличивается на k
In N. Изменение свободной энергии при этом равно
F = 2J - кТ In N; (10.96)
Фиг. 190. Удельная теплоемкость линейной цепочки.
402
Гл. 10. Магнетизм
это изменение можно сделать отрицательным при сколь угодно низкой
температуре, выбирая достаточно большим число N. Отсюда или на основе
более сложного исследования собственных значений матрицы конечного ранга
типа (10.93), все элементы которой положительны, можно заключить, что в
