Принципы теории твердого тела - Займан Дж.
Скачать (прямая ссылка):
создает пары квазичастиц с результирующим импульсом q; этого можно было
ожидать, исходя из качественных соображений § 6 настоящей главы,
касающихся природы незатухающих токов.
Будем теперь рассматривать оператор (11.68) как возмущение и вычислим
изменение волновой функции основного состояния. Затем с помощью формулы
(11.55) вновь вычислим ток, используя теперь вместо ij) "нежесткую"
волновую функцию. В результате получим
где энергия пары квазичастиц s (k) + е (к + q) дается выражением (11.40).
При этом расчете возникают формальные трудности, какие часто встречаются
в квантовой теории движения частиц в магнитных полях и связаны с выбором
калибровки вектор-потенциала. Мы можем здесь обойти их, считая, что
вектор-потенциал А (г) является чисто поперечным, так что q'Aq = 0.
Удобно симметри-зовать произведение по Dt и т.д., после чего формула
(11.69) переходит в следующую:
Эту сумму легко вычислить с помощью формул (11.36), выражающих функции ик
и через энергию | (к). Мы не будем здесь детально воспроизводить эти
выкладки, основанные на элементарных геометрических преобразованиях.
Запишем просто (11.70) в виде соотношения между током и вектор-
потенциалом
2^ 2 (2k + q).Aq(yk+quk-ukuk+q) pjC+qP-k, (11.68)
k
T e*n . ea
J4------"^7A<J + '2^*7x
k
(2k + q) {(2k + (f)-Aq} (ukuk+q uk+ouk) ltt ЛПЧ e(k) + e(k + q) '
Jq - " 4JJ" Г (ч)Дч!
(11.71)
§ 8. Длина когерентности
441
здесь Г (q) - известная функция волнового числа q внешнего магнитного
поля.
Из выражения (11.70) достаточно ясно, что сумма обращается в нуль при q -
у- 0. Таким образом, для медленно меняющихся магнитных полей формула
Лондонов (11.57) справедлива, из нее в общем случае вытекает эффект
Мейсснера. Однако при возрастании q сумма в формуле (11.70), будучи
существенно положительной, стремится скомпенсировать основной член.
Действительно, для больших значений q мы имеем дело с возбуждениями,
энергия которых намного превышает энергию щели, и квазичастицы ведут себя
как обычные электроны и дырки (в зависимости от того, выше или ниже
уровня Ферми они находятся). В этом случае можно показать (это хорошее
упражнение на применение теории), что член Лондонов точно компенсируется.
Другими словами,
Г(д)->0, (11.72)
когда q становится большим.
Реальная форма Г (q) в промежутке между этими двумя предельными случаями
указана на фиг. 208. Естественно предполо-
Фиг. 208. Функция отклика системы.
а - в пространстве волновых векторов; б - в координатном пространстве.
I - по Лондонам; 2 - по Пипиарду.
жить [это можно также проверить с помощью формулы (11.70)], что мы
перейдем от "режима Лондонов" к режиму, определяемому формулой (11.72),
когда волновое число q станет достаточно большим для того, чтобы создать
возбуждение, т. е. когда q превысит критическое значение qc, определяемое
формулой
hvFqe ~ Д" (11.73)
Величина 1 lqc, даваемая этой формулой, представляет собой длину
когерентности ? для идеализированного случая чистого металла.
442
Гл. 11. Сверхпроводимость
Чтобы выяснить ее смысл, запишем соотношение (11.71) между током и
вектор-потенциалом в координатном пространствег
J (г) = J Г (г - г') А (г') (11.74)
здесь Г (г) - фурье-образ Г (q). В теории Лондонов величина T(q)
постоянна, так что Г(г) представляет собой дельта-функцию; величина J(r)
зависит только от локального значения А(г), как в уравнении (11.57).
Более сложный вид имеет фурье-образ уравнения (11.71). Область, в которой
величина Г(г) отлична от нуля, определяется длиной когерентности и, таким
образом, соотношение между векторами J и А является нелокальным. Оно
напоминает формулу Чэмберса (8.101), использовавшуюся в теории
аномального скин-эффекта.
Этот результат, феноменологически установленный Пиппардом, играет важную
роль при детальном рассмотрении таких свойств, как аномальный скин-эффект
и проникновение магнитного поля в сверхпроводник. Фактически величина |
представляет собой "размер" куперовской пары, т. е. расстояние, в
пределах которого сохраняется корреляция между фазами спаренных
электронов. В "грязном" металле, где длина свободного пробега электронов
А меньше 1 lqc, кажущееся значение длины когерентности | не превышает А.
Корреляция фаз в этом случае частично нарушается, хотя само спаривание
сохраняется, и материал остается сверхпроводником.
Интересно посмотреть, как отражается наличие этой когерентности на
математическом аппарате теории. Это очень ясно видно из вычислений,
приводящих от формулы (11.67) к (11.68). Оператор (11.67) вызывает
переходы между одноэлектронными состояниями. В нормальном состоянии
отдельные акты рассеяния следует рассматривать как независимые события, и
полная вероятность рассеяния должна даваться суммой квадратов отдельных
матричных элементов. Таким образом, в числителе (11.69) должны были бы
появляться только члены типа
(l>kUk+q)2 + (UkI>k+q)2. (11.75)
Однако в сверхпроводящем состоянии оператор создает два возмущения,
импульсы которых почти противоположны, следовательно, нужно возводить в
