Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
^ = 2?(Л0-А:г) + ?Л'' (3.216)
SG^ = ^(h,a-h??)'' (3.217)
SGa? = ~{hli + - hft - h:i + (hi)"+
+ 2a-(hi)> - (h>;} - h;]) Si - h"Si - 2a-h'Si). (3.218)
Здесь h = .
Среди решений системы (3.206) есть такие, которые могут быть уничтожены простым преобразованием системы отсчета (не нарушающим ее синхронности) и поэтому не представляющие собой физического интереса.
Найдем вид бесконечно малых преобразований вида хг = хг + , где —бесконечно малые величины, не нарушающих условий синхронности ?</44 = 0 , Sgot4 = 0. Для этого запишем закон преобразования gij при переходе к новой системе отсчета:
ft ft
Подставляя в (3.219) х1 = х1 + , находим с точностью до бесконечно малых 1-го порядка (3/ = д/дх1):
9ij(x) = gijW+t'dtgij+gudjt'+gjidit1. (3.220)
Потребуем, чтобы в новой системе отсчета <744 и ga4 оставались прежними: д44 = <744 , g4a = g4a. Из уравнений (3.220) тогда получаем
+ =0, ('Oig4a + gvdat1 + 9ыд4?1 = 0. 232
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Учитывая, что <744 = a2, ga4 = 0, ga? = —a2Sa? , получаем
Здесь у?, Vor —произвольные функции от пространственных координат.
Рассмотрим равенства (3.220), когда индексы г, j являются пространственными: г = a, j = ?. Подставляя в равенства (3.220) = —a2{Sot? + ha?), 9a? = ~d2{Sa? + ha?) И ИСПОЛЬЗуя (3.221), получим связь возмущений метрики ha? И ha? в разных системах отсчета:
Добавочные к ha? слагаемые в (3.222) и есть "фиктивные" решения, которые допускает система уравнений (3.206).
Система уравнений (3.206) является линейной системой уравнений относительно неизвестных ha? , Se, Suct. Коэффициенты этой системы не зависят от пространственных координат, поэтому общее решение системы (3.206) представим в виде суперпозиции решений вида ехр(гп7ж7) с множителем, зависящим от переменной rj. Здесь Ua—постоянные, п представляет собой волновой вектор, измеренный в единицах 1 /а. Физический волновой вектор к связан с п равенством к = n/a, так как трехмерный вектор q с координатами qa связан с физическим радиус-вектором г равенством г = aq.
Гравитационные возмущения можно разбить на три типа: скалярные, векторные и тензорные.
Скалярные возмущения имеют вид n2 = Jl1Tl1
ha? = ha? - 2 ^fSa? ~ 2<Pta?
— - 1>a,? ~ 1>?ta. (3.222)
(3.223)
Sua =
a(i]) n Se = Se(T1)ein^y.
(3.224)
(3.225)
Векторные возмущения имеют вид
,inyxy
(3.226) 3.4. Общерелятивистская теория возмущений
233
Se = 0, Sua = ^T Z-einy'y ¦ (3.227)
avi) S
Здесь S = ^S1 S1. Sa—вектор поляризации, ортогональный к na : SoeTiot = 0. Существуют две независимые поляризации векторных возмущений с взаимно ортогональными векторами поляризации.
Тензорные возмущения (гравитационные волны) представляются в виде
h*? = v(v)G°?ein^\ (3.228)
Se = 0, Suoc = 0. (3.229)
Здесь G?—тензор поляризации гравитационной волны, удовлетворяющий условиям
Ga?n? = Gpnce = 0, Gaa = 0. (3.230)
Таких тензоров также существует два и, следовательно, возможны две независимые поляризации гравитационных волн.
Любое гравитационное возмущение всегда может быть представлено в виде суммы возмущений перечисленного вида. При подстановке такой суммы в уравнения (3.206) нетрудно убедиться в том, что система уравнений разбивается на независимые подсистемы для скалярных, векторных и тензорных возмущений. Система уравнений для скалярных возмущений:
^+yfo + A) = *^а28е, (3.231)
tIAird
in(ti'+ X) =+ Р)а\, (3.232)
А"+ 2-А'-(/I+ А)= 0, (3.233) а 3
// У / "2/ 24тг? 2dP. ,onnJ.
ц" + 2-ц'+—{ц + А) =--J-Ci2-Se. 3.234
а 6 с* ае
Данная система уравнений допускает решения, соответствующие "фиктивным" изменениям метрики (3.222):
a) X- -р- const, Se = vIi=O; (3.235) 234
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
b) A + , = -8?, » = з4,
J a er
б' 277,
* = = -. (3.236)
Решение (3.235) получается из (3.222) при фа = nQ ехр(т7ж7), ур = 0. При фа = 0, у? = — (1/2) ехр(т7ж7) из (3.222) получается решение (3.236).
Система уравнений для векторных возмущений:
iW = + (3.237)
<т" + 2V = 0. (3.238)
a
Эта система допускает "фиктивное" решение:
с = const, Vi = 0. (3.239)
На тензорные возмущения (гравитационные волны) получаем следующее уравнение:
i/" + 2—i/ + n2i/ = 0. (3.240)
a
Гравитационные волны не взаимодействуют с паскалевской жидкостью. Это следует из того, что в уравнения для тензорных возмущений не входят возмущения каких-либо компонент тензора энергии—импульса жидкости.
Займемся решением системы уравнений (3.231)—(3.234) для скалярных возмущений.
На ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной, когда P = с/3, a = ai77, из (3.231)—(3.234) нетрудно получить систему двух уравнений:
A" + -A' -^-(/i + А) = 0, (3.241)
TJ 6
li" + -ii'+ln2(fi + \) = 0. (3.242)
Г) 6
Последняя система уравнений интегрируется до конца. А именно, ищем решение в виде
3
/i = ip(n2 In TJ - ) + ф, A = -<рп2 In 77 — Ф' (3.243)
rJ 3.4. Общерелятивистская теория возмущений
235
При <р = const, ф = const мы получаем "фиктивные" решения. Считая (риф новыми неизвестными и подставляя (3.243) в систему уравнений (3.241), (3.242), получаем систему уравнений, содержащую только производные от <р и ф:
