Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Захаров А.В. -> "Макроскопическая гравитации" -> 62

Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.

Захаров А.В. Макроскопическая гравитации — М: Янус-К, 2000. — 284 c.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка): makroskopgravitaciya2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 73 >> Следующая


<р"(п2 In г, - -i) + *>'( — In г, + — + -і) + V" + -V-' = 0, (3.244) г] VV V

9т?2 fI

^n2 In т? + —(р'( 1 + In т?) + ф" + -ф' = 0. (3.245) V V

Вычтем из (3.245) почленно уравнение (3.244) и выразим из полученного уравнения ф':

= + (3.246)

V \'Г )

С помощью (3.246) уравнение (3.245) принимает вид:

3 V?"' + «У = 0. (3.247)

Решение этого уравнения

9 = Ci+ C2 ехр + C3 ехр ("i^) (3-248)

подставляем в (3.246) и получаем после интегрирования

ф = с2{ (^f - Ti2 Inч) ехр (i^) +U2Jd-I ехр (г-^) } +

+ Сз{п2 J ехр (-г-^) - + n* In ехр (-г-^) } + C4.

(3.249)

Здесь Ci, C2 , Сз , С4 —произвольные постоянные. Две из них отвечают за "фиктивные" моды. Конкретизируя их, мы конкретизируем систему отсчета. Положим Ci = — Ci — Сз , Cj = 0. В этом случае из (3.248), (3.249) и (3.243) получаем следующие решения для возмущений метрики:

, + А = f (, -ехр (,?,)) + f (, - ехр (-,?,)) , ,3.250, 236

ГЛАВА 3. Релятивистская космология

к = Сз{ (^f - ?)ехр (iT=Sri) + n2I "jехр (1'?") *

^lnv+^ + Сз| +^j ехр (-i^) +

+ гI2J -U2Inr7+^J. (3.251)

Из уравнений (3.231) и (3.232) находим возмущение продольной составляющей скорости Vj| и относительное возмущение плотности энергии St/t:

Si=C2{l (ехр (іJL„) - l) - ^exp (іJL,) -

_ In2exp } + (ехр (-г-^) - l) +

2 in ( . п \ I2 / , n \ ]

+ ^exp ГТГУ - з" ехр Г TfJ /' (3 252)

I11 = ехр (i-^) + ^ (ехр (iJL„) - l) } +

+ §{^ехр(-г^)-^(ехр(-г^)-і)}. (3.253)

Из полученных решений видим, что на ультрарелятивистской стадии нет сколько-нибудь значительного нарастания возмущений плотности вещества. При щ 1, что соответствует приближению Л ct, незначительное нарастание возмущений плотности присутствует. Чтобы в этом убедиться, разложим выражение (3.252) по степеням щ. Переобозначая постоянные, имеем

j = AlUff + A2(UTj)2. (3.254)

Здесь

Ai = |гх/3in2 (C2 - Cs), A2 = щп2(Сі + C2).

Постоянные Ai, Ao должны удовлетворять условиям, выражающим малость возмущений в момент Щ их возникновения: при Tf = Tfо 3.4. Общерелятивистская теория возмущений

237

должно быть 1 (откуда р<^1) и Se В применении

к (3.250)—(3.252) эти условия приводят к неравенствам

C2Ti2 1, Сзп2 1

и, следовательно, к Ai 1, A2 < 1. В силу этого возмущения остаются малыми при любых rj. При щ 1 (А « d) главные члены относительного возмущения плотности энергии имеют вид

— = const ехр . (3.255)

Учитывая, что пространственная зависимость возмущений имеет вид ехр(т7ж7), заключаем, что мы имеем дело со звуковыми волнами, распространяющимися со скоростью звука Vs = с/л/З в среде с уравнением состояния с = ZP.

Рассмотрим более поздние стадии расширения, когда материя разрежена настолько, что можно пренебречь et давлением и положить P = 0. В этом случае a = (l/2)a0Tj2. Из (3.231)-(3.234) получаем следующую систему уравнений для возмущений метрики:

A" + -A7 - ^-(р + А) = 0, (3.256)

Tf 3

AV+tH^O. (3.257)

TJ 6

Решение этих уравнений:

Сз

Зіг

Л + ц = 2С!- (3.258)

х ^ . 2С2тї2 Cl 2 2 C3Ti2

Л = ^+-^3- +Т5П ^ +T8V (3 59)

При Ci = C2 = 0 получаем "фиктивные" решения. Постоянные Сз , C4 , отвечающие за "фиктивные" моды, положим равными нулю, конкретизируя этим систему отсчета:

А + , = **, А = +

(3.260)

Из (3.231) и (3.232) находим относительное возмущение плотности энергии:

7 = <'•»') 238

ГЛАВА 3. Релятивистская космология

Малость начальных возмущений в момент т]0 требует выполнения неравенств: Cin2Tft, 1, C2Ti2 .

В этом случае из (3.261) заключаем, что возмущение относительного значения плотности энергии нарастает по закону rf, и это нарастание может быть значительным при щ > 1.

Следовательно, при пренебрежении давлением вещества гравитационные возмущения растут, что согласуется с качественными выводами теорий Джинса и Боннора.

Переходим к исследованию векторных возмущений. На ультрарелятивистской стадии, когда 6 = 3P = const • a"4 , a = a\i), с учетом невозмущенного уравнения

8тгG о а'2 имеем из системы уравнений (3.237), (3.238):

о

іп<т' = — Vjl > (3.262)

</'+-</ = 0, (3.263)

V

откуда

Vx = const, а = (3.264)

гщ

Произвольная постоянная, входящая в выражение для <т, отброшена, так как она отвечает за "фиктивную" моду <т = const.

На нерелятивистской стадии, когда P = O, а = (1/2)а0т]2 , имеем:

= (3-265)

<т"+-<т' = 0, (3.266)

откуда

v± = % сг = -??. (3.267) т]2 гщo

Таким образом, возмущения метрического тензора в случае векторных возмущений затухают, а вихревая компонента скорости остается постоянной на ультрарелятивистской стадии и затухает на нерелятивистской. 3.4. Общерелятивистская теория возмущений

239

Для тензорных возмущений на ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной, когда a = aiTj, получаем уравнение:

i/"+-i/ + n2i/ = 0: (3.268)

rI

После подстановки v = и/т] получаем уравнение на ш :

и" + п2и = 0.

Решение его есть линейная комбинация экспонент exp(±m?7). В результате

і/ = і (Cieinri + С2е~іпг>) . (3.269)

rI

Учитывая пространственную зависимость вида ехр(гп7ж7), заключаем, что мы имеем дело с гравитационной волной, распространяющейся со скоростью света, амплитуда которой затухает как l/rj.
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed