Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
<р"(п2 In г, - -i) + *>'( — In г, + — + -і) + V" + -V-' = 0, (3.244) г] VV V
9т?2 fI
^n2 In т? + —(р'( 1 + In т?) + ф" + -ф' = 0. (3.245) V V
Вычтем из (3.245) почленно уравнение (3.244) и выразим из полученного уравнения ф':
= + (3.246)
V \'Г )
С помощью (3.246) уравнение (3.245) принимает вид:
3 V?"' + «У = 0. (3.247)
Решение этого уравнения
9 = Ci+ C2 ехр + C3 ехр ("i^) (3-248)
подставляем в (3.246) и получаем после интегрирования
ф = с2{ (^f - Ti2 Inч) ехр (i^) +U2Jd-I ехр (г-^) } +
+ Сз{п2 J ехр (-г-^) - + n* In ехр (-г-^) } + C4.
(3.249)
Здесь Ci, C2 , Сз , С4 —произвольные постоянные. Две из них отвечают за "фиктивные" моды. Конкретизируя их, мы конкретизируем систему отсчета. Положим Ci = — Ci — Сз , Cj = 0. В этом случае из (3.248), (3.249) и (3.243) получаем следующие решения для возмущений метрики:
, + А = f (, -ехр (,?,)) + f (, - ехр (-,?,)) , ,3.250,236
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
к = Сз{ (^f - ?)ехр (iT=Sri) + n2I "jехр (1'?") *
^lnv+^ + Сз| +^j ехр (-i^) +
+ гI2J -U2Inr7+^J. (3.251)
Из уравнений (3.231) и (3.232) находим возмущение продольной составляющей скорости Vj| и относительное возмущение плотности энергии St/t:
Si=C2{l (ехр (іJL„) - l) - ^exp (іJL,) -
_ In2exp } + (ехр (-г-^) - l) +
2 in ( . п \ I2 / , n \ ]
+ ^exp ГТГУ - з" ехр Г TfJ /' (3 252)
I11 = ехр (i-^) + ^ (ехр (iJL„) - l) } +
+ §{^ехр(-г^)-^(ехр(-г^)-і)}. (3.253)
Из полученных решений видим, что на ультрарелятивистской стадии нет сколько-нибудь значительного нарастания возмущений плотности вещества. При щ 1, что соответствует приближению Л ct, незначительное нарастание возмущений плотности присутствует. Чтобы в этом убедиться, разложим выражение (3.252) по степеням щ. Переобозначая постоянные, имеем
j = AlUff + A2(UTj)2. (3.254)
Здесь
Ai = |гх/3in2 (C2 - Cs), A2 = щп2(Сі + C2).
Постоянные Ai, Ao должны удовлетворять условиям, выражающим малость возмущений в момент Щ их возникновения: при Tf = Tfо3.4. Общерелятивистская теория возмущений
237
должно быть 1 (откуда р<^1) и Se В применении
к (3.250)—(3.252) эти условия приводят к неравенствам
C2Ti2 1, Сзп2 1
и, следовательно, к Ai 1, A2 < 1. В силу этого возмущения остаются малыми при любых rj. При щ 1 (А « d) главные члены относительного возмущения плотности энергии имеют вид
— = const ехр . (3.255)
Учитывая, что пространственная зависимость возмущений имеет вид ехр(т7ж7), заключаем, что мы имеем дело со звуковыми волнами, распространяющимися со скоростью звука Vs = с/л/З в среде с уравнением состояния с = ZP.
Рассмотрим более поздние стадии расширения, когда материя разрежена настолько, что можно пренебречь et давлением и положить P = 0. В этом случае a = (l/2)a0Tj2. Из (3.231)-(3.234) получаем следующую систему уравнений для возмущений метрики:
A" + -A7 - ^-(р + А) = 0, (3.256)
Tf 3
AV+tH^O. (3.257)
TJ 6
Решение этих уравнений:
Сз
Зіг
Л + ц = 2С!- (3.258)
х ^ . 2С2тї2 Cl 2 2 C3Ti2
Л = ^+-^3- +Т5П ^ +T8V (3 59)
При Ci = C2 = 0 получаем "фиктивные" решения. Постоянные Сз , C4 , отвечающие за "фиктивные" моды, положим равными нулю, конкретизируя этим систему отсчета:
А + , = **, А = +
(3.260)
Из (3.231) и (3.232) находим относительное возмущение плотности энергии:
7 = <'•»')238
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Малость начальных возмущений в момент т]0 требует выполнения неравенств: Cin2Tft, 1, C2Ti2 .
В этом случае из (3.261) заключаем, что возмущение относительного значения плотности энергии нарастает по закону rf, и это нарастание может быть значительным при щ > 1.
Следовательно, при пренебрежении давлением вещества гравитационные возмущения растут, что согласуется с качественными выводами теорий Джинса и Боннора.
Переходим к исследованию векторных возмущений. На ультрарелятивистской стадии, когда 6 = 3P = const • a"4 , a = a\i), с учетом невозмущенного уравнения
8тгG о а'2 имеем из системы уравнений (3.237), (3.238):
о
іп<т' = — Vjl > (3.262)
</'+-</ = 0, (3.263)
V
откуда
Vx = const, а = (3.264)
гщ
Произвольная постоянная, входящая в выражение для <т, отброшена, так как она отвечает за "фиктивную" моду <т = const.
На нерелятивистской стадии, когда P = O, а = (1/2)а0т]2 , имеем:
= (3-265)
<т"+-<т' = 0, (3.266)
откуда
v± = % сг = -??. (3.267) т]2 гщo
Таким образом, возмущения метрического тензора в случае векторных возмущений затухают, а вихревая компонента скорости остается постоянной на ультрарелятивистской стадии и затухает на нерелятивистской.3.4. Общерелятивистская теория возмущений
239
Для тензорных возмущений на ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной, когда a = aiTj, получаем уравнение:
i/"+-i/ + n2i/ = 0: (3.268)
rI
После подстановки v = и/т] получаем уравнение на ш :
и" + п2и = 0.
Решение его есть линейная комбинация экспонент exp(±m?7). В результате
і/ = і (Cieinri + С2е~іпг>) . (3.269)
rI
Учитывая пространственную зависимость вида ехр(гп7ж7), заключаем, что мы имеем дело с гравитационной волной, распространяющейся со скоростью света, амплитуда которой затухает как l/rj.