Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
На нерелятивистской стадии, когда a = (1/2)ао^2 , уравнение для тензорных возмущений принимает вид
!/"+- + H2IZ = O. (3.270)
V
После подстановки
'=H-)'
Г) \rtJ
имеем
Г}{и" + п2и)' - [u" + п2и) = 0,
откуда
ljn + tl2u = Cf]. Здесь С = const. Решение последнего уравнения есть
lj = ^f] + Cieinri + C2e~in\ (3.271)
Подставляя (3.271) в выражение для v, получаем
у = JL^inrl (C\einri - С2е~іпг>) - (Cieinri + C2^inri) }. (3.272)
И на нерелятивистской стадии гравитационные волны затухают по амплитуде как I/772, распространяясь со скоростью света. 240
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
3.5 Влияние бесстолкновительных частиц на рост гравитационных возмущений в изотропном мире
3.5.1 Введение
Как показано в 3.2, в составе вещества ранней Вселенной достаточно большую долю составляют бесстолкновительные частицы (нейтрино). Поэтому описание всего вещества во Вселенной в рамках гидродинамической модели, использованной в предыдущем параграфе при решении задачи о развитии малых возмущений на ранней стадии эволюции Вселенной, не совсем корректно. Данный параграф посвящен исследованию поведения малых гравитационных возмущений на ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной с учетом в составе вещества бесстолкновительной компоненты.
Среди результатов выделим следующий. На ультрарелятивистской . стадии расширения Вселенной асимптотики длинноволновых возмущений существенно зависят от отношения 7 плотности энергии бесстолкновительных частиц к суммарной плотности энергии. При 7 < 5/32 возмущения качественно ведут себя также как и в модели, заполненной идеальной жидкостью. При 7 > 5/32 асимптотики качественно отличаются от результатов [55]. Характерной особенностью новых длинноволновых асимптотик является их колебательный характер.
Из соотношений (3.100), (3.113), приведенных в параграфе 3.2, видим, что в реальной Вселенной после момента г = 0,2 с от начала расширения выполняется условие 7 > 5/32 и, следовательно, начиная с этого момента эволюции Вселенной, следует пользоваться длинноволновыми асимптотиками гравитационных возмущений, представленными в данном параграфе.
3.5.2 Гравитационные возмущения на ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной
Поведение гравитирующей системы, состоящей из смеси идеальной жидкости и бесстолкновительного газа, описывается системой уравнений Эйнштейна, в правой части которой стоит сумма тензоров 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
241
энергии—импульса жидкости и газа:
Gj = X (Tj)1 + X (V)2- (3-273)
Здесь X = (87tG)/c4, G—гравитационная постоянная, с—скорость света, G1J—тензор Эйнштейна, (Tj)2—тензор энергии—импульса жидкой компоненты
(Tj)2 = (е2 + P2Kui-P2^j, (3.274)
ut-4-ВЄКТОр скорости, €2—плотность энергии, P2—давление жидкости. Индексы i,j,k и т. д. пробегают значения от 1 до 4, х4— временная координата.
Тензор энергии—импульса бесстолкновительного газа (Tj)1 выражается через функцию распределения F(x\pa), заданную в семимерном фазовом пространстве с координатами хг и pa (хг —координаты в пространстве-времени, ра —пространственные контравари-антные компоненты импульсов; греческие индексы а,/3,7,... пробегают значения от 1 до 3):
(Tj)l=c J ?2^jPjF(z,p). (3.275)
Здесь d3р = dp1 dp2dp3 , pl—импульсы , y/^gd3p/p4—инвариантный элемент объема в импульсном пространстве.
Функция распределения подчиняется бесстолкновительному кинетическому уравнению:
(pi^ - rfkpipk^) pI*'') = 0- <3-276>
Здесь Tfk —символы Кристоффеля 2-го рода.
Система уравнений (3.273)—(3.276) допускает решение, описывающее изотропную космологическую модель с метрикой
ds2 = A2(T7) [drf - dr2 - p2(r) (de2 + sin2Odif2)] , (3.277)
где p= r, sin r, shг для плоской, закрытой и открытой моделей, соответственно. Функция распределения, удовлетворяющая уравнению (3.276) и описывающая однородное и изотропное распределение бесстолкновительного газа, есть произвольная функция от первого интеграла [20, 66, 88, 89]:
F = F^q2), q2=a2la?p«pp. (3.278) 242
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Здесь ")a?—пространственная часть метрики [4].
Вычислим тензор энергии—импульса бесстолкновительного газа. Так как q2 = (?,р*)2 — m2c2?2 , где —вектор с компонентами
(0,0,0,1), то (rty ^ имеет вид:
(Tl)i = (ci + PlWui - P1Sjii (3.279)
где Ut = = (Ifa)St4—вектор макроскопической 4-скорости газа,
oo
€1=с [ = ±Е? [ dqq2y/m2c2a2 + q2F0(q2)i (3.280)
J Pa a* J
о
1 Г _ raV]fo ш Jdq «*
Р4 За* у \Jm2c2a2 + <?2
Ov
(3.281)
Здесь введены обозначения = y/laapa (суммирования ПО OL нет), q2 = a2IctPPotP13 = Sot?qaq? .
4-вектор скорости жидкости совпадает с 4-вектором макроскопической скорости газа и также равен Wt = (l/a)^ . Плотность энергии С2 и давление /? жидкости зависят только от временной переменной V-
Масштабный фактор a(rj) космологической модели подчиняется уравнению
(a')2 -f Ia2 = ^Yfl4+ б2)- (3.282)
Здесь штрих обозначает производную по переменной г], / = 0 для плоской, / = 1 для закрытой и / = — 1 для открытой модели.
