Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
251
в отсутствие бесстолкновительного газа (см. [55]), так и при его наличии.
Система уравнений для тензорных возмущений (гравитационных волн) на ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной принимает вид:
+ 1
I2V+ Itis+ I1V = -J dx{l- x2)<t>t[t,x). (3.331)
-і
Для исследования полученных уравнений применим операционный метод. Введем образы Лапласа:
оо +їсо + Д
Zp = j dte~ptz(t), z(t) = ^ J dpept Zp,
t о — іоо+Д
где z(t) —любая из функций //, A, v, Q = д, иц, v± . Если общее решение уравнения (3.319)
Фс(<, х) = Фс(*0,*) CXp[-ix(t - <u)] +
t
+ -2- ( dt'exp[-ix(t-t%\(t') + p(t')-3x2\{t')] (3.332) 1 + a J
to
подставить в (3.320) и (3.321), то получим интегро-дифференциальные уравнения
<2 7
tV + - ~ / dx<bc(t0> х) ехр[-гж(< - to)] + 3д-
-1
f t S + / dt'k{t'-t)\{t')} (3.333)
?0 t о
+1
/12 і
dxxФc(to}x) ехр[-ix(t - /0)] - 1-Vii+
1 + OL 252
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
t t + rhf dt'K(i'-im') + \(<')] + ^jdt'Ці')^r3K(t> -t),
to t о
(3.334)
образующие с (3.324) и (3.325) замкнутую систему уравнений относительно А, <7, . Здесь Фс(/о,я)—значение функции Фс(<,ж) в начальный момент t = to , К(т) = 2 sin r/r, точка над /\ обозначает производную по единственному аргументу, от которого К зависит.
После применения к (3.324), (3.325) и (3.333), (3.334) преобразования Лапласа, получаем следующую систему уравнений на образы Лапласа:
ЦрУр - v\\oe-pto) + i(l + a)gp = 0, (3.335)
2{ррР - poe~pto) + Aivp + 3(1 + а)(рдр - (3.336)
+і
-PPtp + V, + А"р) - tow« = [ ^Milfl+
7 3 f J р+ix
-і
+39р + YT^i "і1п ^p + Лр)"(/i0 + A°)e_pt0]+
+ Зр[2 - ip\n (j^) ](рАр - Аое-Р'»)}, (3.337)
Р(»"р + А"р) + 2(4 + А;) - t2(p0 + Ао)е-р'° =
У р + гж 1 + a -і
+гЫ3[2 -г1п ] + Ap) - (/i0 + Ао)е~РЧ+
+ [ - 6 + 18р2 - 9г>3In (j^j ](рЛр - А0е-р,°)}. (3.338)
Здесь ^o, Ao, ицо, </о—значения возмущений в некоторый начальный момент / = <о = Що ¦ Штрих обозначает производную по р. Из (3.337) и (3.338) можно получить следствие:
2(4 + А;) + Зр24 - ЗрАір + e~pto(.4 + 3<) w) = 0, (3.339) 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
253
где
+1
a = 6//0 + 9<7о - tlfao + A0) - 3 J (іхфс{і0,х).
-і
Введем переменную
ур = 2 (рр + Ар) + 3 P2Pp. Из (3.339), (3.340) имеем:
^=vpy'»+e~pto
1 3 ,
»p + xP = 2Ур ~ 2P ^p'
Подстановка (3.341), (3.342) приводит к уравнению
+ 1рУ"р + I * (l + a)(l + V) +
(3.340)
(3.341)
(3.342)
a
¦9'{р)Ур =е~р1°ф(р),
где
1 + a
<р(р) = 9гр(1 + р2) In ( ^4 ) - 6(2 + Зр2), р + г
(3.343)
(3.344)
+1
+
,, . 18 { dx ФМо.х) ,a , /р— А г„
ф(р) = — / -cv ' - і--In --: [9?ot0p
PJ P+г* 1+a VP+V -і
— (?o + A0) + ЗЛр] + 7-7— [2 - гріп ( ) ][9^о<оР: P J l + aL VP+V
+6/z0<oP+ 18A0 + a(2 + 3p2)] - ^^ + 18/zo<2—
+
-3po<oP - ^o + -AU + L 2po ( + ^
p I + a L
L(1 + 3p2) \3
9p
1
(1 + 3p2) Положив
(2/io + 12ipv||o + 3(l + a)0o) +
4 і v\
1iio
(3.345)
Vp=P(^P2)J p2(lR}%3/2dp, (3.346) 254
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
приходим к следующему уравнению на функцию R(p):
3 + 4 ,, +6- 18(1 +р2)+
— [-l + oL(
Г + "
(1+р2)2 (1+р2)
+9гр(1+р2)1п^У 4 12
+
]}R = ps/l + р2ф(р)е~рі°. (3.347)
+ a L(1 + р2)2 1 +р2 1 + Зр2-
Обратимся к системе (3.326)—(3.328) для векторных возмущений. Общее решение уравнения (3.326)
Ф„(<,*) = Ф„(<о, х) ехр[—г#(< - /о)]+
с
+ T^-xy/l -X2 [ dt' ехр[—іX(t - t')]&(t') (3.
1 + OL J
348)
?0
подставим в (3.328): +і
it2& = 2 J dx^/Г^^Фv{to1x)exp[-ix(t-to)]-Y^--1
?o f d3 - TT^iJ dt'&(t')[K(t' -t) + ^sKp - <)]. (3.349)
to
После преобразования Лапласа последнее уравнение принимает вид:
Q"{p) + гЫ8+12р2"6г>(1+р2} 1п (Ы) 1Qp = +1
= -2 ie-».ja,
-1
у/1 - х2Фv(to, х) 8г^1
-:--Ь l~i-^Te
р+ ix (1 + а)р
~pt о
(3.350)
Аналогичным образом получаем уравнение для образов Лапласа в случае тензорных возмущений. Общее решение уравнения (3.330)
Фt(i,x) = Фі(іо,х)ехр[-іх(і - *0)]+ 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
255
I
+ щ^yU - г2) I dt' ехр[~ix(t - t'))v(t') (3.351)
to
подставим в (3.331):
+і
t2i> + 2ti> + t2v=~ J dx(l — х2)Фі(і0, x) exp[—га:(< - t0)}~
3a
2(1 +
—г Jdt'v{t') \К{Ґ -t) + 2K(t' -t) + ?-4K(t> - <)]. (3.352)
to
После преобразования Лапласа последнее уравнение принимает вид:
U
1 + TT-^T + 1-3(1 + p2) + ^р(1 + р2)х
"W + {]+cvL (1+р2)2 1 (1+р2)
х ln (Pzi^ 1 _ __I_Xu - e~ptо 7(Р)
Xln{p + i)\ 1 + a (1 + р2)2 / — уГТр
Здесь Up —неизвестная, связанная с Vv соотношением
UD
(3.353)
(3.354)
+і
-і
+
a
1 + a
ф) = - [dx^^ +%(*<> +pv*)+
Vp + */
-5р-Зр3+ ^г(1+р2)21п
(3.355)
3.5.3 Асимптотики коротковолновых возмущений
Для нахождения асимптотик возмущений при t = nrj 1 применим в обратном преобразовании Лапласа способ интегрирования, предложенный Ландау при решении задачи о колебаниях электронной плазмы [90] (правило обхода контура Ландау). 256
