Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
t о t о
Из (3.195) можно выразить Фі через Sp:
фх = -^La2Sp. (3.200)
п1
Подставляя (3.200) в (3.199), поделив обе части (3.199) на постоянную величину а3р и дифференцируя по t, приходим к уравнению на относительное возмущение плотности S = Sp/р:
t
U^ J Л'а2(і')6р(і'). (3.201) 228
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
После умножения (3.201) на а2 и дифференцирования по t получим
S+ 2-6- ATrGpS = O. (3.202)
a
Уравнение (3.202) совпадает с уравнением (3.162) при Ar = 0.
Таким образом, для длинных волн результаты для возмущений в бесстолкновительном нерелятивистском газе и в веществе, находящемся в состоянии локального термодинамического равновесия, совпадают.
3-4 Общерелятивистская теория малых возмущений
3.4.1 Приближение идеальной жидкости
Нерелятивистская теория гравитационных возмущений, изложенная в предыдущем разделе, применима только на стадии преобладания вещества над излучением. Для описания гравитационных возмущений на стадии, когда доминирует излучение, необходимо привлекать общую теорию относительности. Привлечение последней необходимо также при изучении гравитационого излучения в любую эпоху.
Общерелятивистская теория малых гравитационных возмущений в расширяющейся однородной Вселенной в приближении, что вещество во Вселенной находится в состоянии локального термодинамического равновесия, развита Е.М.Лифшицем в 1946 году [55], [56]. В состоянии локального термодинамического равновесия тензор энергии импульса, имеет вид тензора энергии импульса идеальной жидкости (см. гл. I):
Tj = (с + Р)и% - PS). (3.203)
Мы рассмотрим здесь теорию гравитационных возмущений на фоне пространственно-плоского мира Фридмана. Это ограничение не очень жесткое, так как на ранних стадиях результаты для открытого и закрытого миров Фридмана мало отличаются от результатов для пространственно-плоского мира, если мы будем рассматривать только возмущения с длиной волны меньшей, чем a (масштабный фактор). Более подробное рассмотрение вопроса (в приближении идеальной жидкости), в том числе исследование возмущений в областях, по размерам сравнимых с a, можно найти в [56]. 3.4. Общерелятивистская теория возмущений
229
Итак, в качестве невозмущенного решения системы уравнений Эйнштейна выбираем пространственно-плоский мир Фридмана с интервалом
^2 = a2(rj)(drf2 - dx2 - dy2 - dz2). (3.204)
Невозмущенный тензор энергии—импульса имеет вид (3.203), где
e = e(Ti), P = P(V), "' = ^t
Рассмотрим малые возмущения метрики Sgij , при наличии которых метрика равна
9хз = (*?)%' +&9%з-
Здесь rjij—матрица Минковского, a2r)ij—метрика пространственно-плоского мира Фридмана.
Без ограничения общности будем описывать возмущенное поле в синхронной системе отсчета, т. е. наложим на возмущения Sgij метрического тензора условия
S944 = Sg0t4 = 0 (а,/?, 7, ••• = 1,2,3).
Варьируя при ЭТИХ условиях тождество gij IltIlj = 1 и имея в виду, что невозмущенные компоненты 4-вектора скорости жидкости равны и4 = Ifa1uoc = 0, получим Su4 = 0. Возмущения же Suoc, вообще говоря, отличны от нуля, так что система отсчета уже не сопутствующая.
Для возмущений пространственных компонент метрического тензора Sga? введем обозначения
Sga? = -a2ha?. (3.205)
В линейном приближении малые гравитационные возмущения удовлетворяют линеаризированным уравнениям Эйнштейна
sgJ = ^stJ- (3-206)
Возмущения компонент тензора энергии—импульса равны:
ST^ = s^ Щ = + Щ = S?SP. (3.207)
Ввиду малости возмущений SP = (dP/de)Se. 230
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Выпишем отличные от нуля возмущения символов Кристоффеля:
sr^ = 2^1°4^'' srV = Vh^'' (3-208)
ST°?j = + + h*x?). (3.209)
Здесь и всюду ниже поднимание и опускание греческих индексов производится с помощью символа Кронекера SQp : h? = SalH1P . Штрих обозначает дифференцирование по временной координате rj, как верхние так и нижние индексы после запятой обозначают обычные пространственные производные.
Возмущения смешаных компонент тензора Риччи можно определить, варьируя соотношение Rtk = gtl Rik :
dBth =Sgil Rik +gil SRlk. (3.210)
Возмущения контравариантных компонент метрического тензора находятся варьированием тождества gtkgkj = Sj . Имеем
Sg44 = 0, Sg4a = 0, Sga? = ^hQ?. (3.211)
Здесь hQP = SoclS^hl6 .
Возмущения ковариантных компонент тензора Риччи находятся варьированием выражения
QY1k дГ1к1 / Л in Rkrn = Q J1 - + Fn/FjJm - FnmF1kh (3.212)
а именно,
SRkm = Q^m - + SF1nlFkm + F1nlSFkm - SF1nmFkl - F1nmSFkl.
(3.213)
Подставим (3.208), (3.209) и значения невозмущенных символов Кристоффеля
Ctfl4=^, ST4ap =^Sa?, ST 4? = -^S?, (3.214)
JrJ4 = Ib = I^ = O (3.215) 3.4. Общерелятивистская теория возмущений
231
в формулы (3.213) и (3.212). Затем результат подставляем в (3.210). При этом используем (3.211). Наконец, возмущения компонент тензора Эйнштейна находим из равенства
SGij = SWj-ISijSR'.
Окончательно получаем следующие выражения для возмущений смешаных компонент тензора Эйнштейна:
