Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
3.2.3 Длительность каждого этапа
В предыдущем параграфе мы указали интервалы температур реликтового излучения на каждом из характерных этапов эволюции Вселенной. Установим продолжительность этих этапов по времени. Для этого воспользуемся уравнениями Эйнштейна, из которых следует уравнение на масштабный фактор:
а'2 * SttG ,^ftftx
+ - = —е. (3.122)
При T7 < 4, 2 • IO5 К плотность энергии равна сумме плотностей энергии излучения и нерелятивистского вещества:
с = vT? + . (3.123) 212
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
При Ti = 6П • IO4 К плотности энергии нерелятивистского вещества и излучения сравниваются.
В настоящее время из (3.122) имеем
Hl к _ SirGe(I0) с2 + a2(to) ~ 3с4
или, учитывая , что Hq = 8irGe(t0)/3c2Q,
к SirGejt0) ( _ А а2Ы " 3с4 V О/
Следовательно, на современном этапе
SirGe(U) 2 Q
а (<о) = [ГГТ|-
Подставляя в это равенство значение сегодняшней плотности энергии из (3.123), когда T1 = Tl0 = 2,7К < Ti, получаем
V4 Q
= ^ww Iii-I г (3124)
Поэтому в общем случае при T1 > T1 о 2 О / rP \ 3
8 TrG о a2 Q -ест =
(r^y Л+^ =-JLb л+ ZiV
Зс4 а2(^о) I fi — 1 I \2,7/ V T1J I О - 1 I 2,7 V T1J
(3.125)
Из последнего равенства заключаем, что правая часть уравнений Эйнштейна (3.122) доминирует над слагаемым к/а2, начиная с температур реликтового излучения в несколько десятков градусов и выше, если параметр плотности f2 не слишком близок к единице. В последнем же случае слагаемое к/а2 мало вплоть до настоящего времени.
Таким образом, на этапах с температурой реликтового излучения свыше нескольких десятков градусов все три модели Фридмана дают одну и ту же зависимость масштабного фактора от времени, которая получается из (3.122) пренебрежением слагаемым к/а2.
Учитывая это, перепишем уравнение (3.122), переходя в нем к новым переменным: температуре T = const/а и космологическому времени t = (1 /с) f a(r})drj :
S=<"2б> 3.2. Основные этапы эволюции Вселенной
213
Здесь точка обозначает производную по космологическому времени t.
При 5 • IO9 К < T < IO12 К для плотности энергии имеем формулу (3.96). Интегрируя (3.126), получаем
Здесь го—постоянная интегрирования, которую положим равной нулю.
При T = IO12K получаем t = 1,09- IO-4C. При T = IO11 К получаем * = 1,09 • 10~2 с.
При T= 5-IO9K получаем t = 4,36с. (3.128)
При 4,2 • IO5K < T < 5 • IO9 К плотность энергии берем из (3.112). Интегрируя (3.126), получаем на этом этапе
с 1
t = t і +
Э7ГОг<7 -
Постоянную находим из условия сшивки (3.128). Подставляя значения фундаментальных постоянных, имеем
(iqlo v\2
—TjT-J -3,32с. (3.129)
При T = 4,2 • IO5 К , когда нейтрино становятся нерелятивистскими, t = 1,09-109с = 36лет.
При T < 4,2 • IO5K в уравнение (3.126) подставляем (3.123):
И)- <"*>»
Решение этого уравнения
с
t-t2 =
7\/ММ- (зізі>
л/6тг GaT4
После подстановки численных значений констант, Ti = 6П • IO4 К, и сшивки с (3.129) при T = 4,2 • IO5 К имеем
« = 1izysn + 8,5в. (, + «L«Cu) _,).
(3.132) 214
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
При T = 4000 К
t = 4,62-1012с~ 1,54-IO5лет (О = 1), t = 1,04 . IO13C ~ 3,5,- IO5 лет (Q = 1/10).
При T =2,7 К получаем возраст Вселенной:
to =2,84- IO17c -9,5- 109лет (П = 1), <о = 8,97 • IO17c - 3 . 101Олет (О = 1/10).
Строго говоря, последнее значение для возраста Вселенной при О, = 1/10 несколько завышено, так как при этом значении параметра плотности результатом (3.132) можно пользоваться только пока температура не опустится ниже 30 К . При T = 30 К из (3.132) получаем t = 7,66 • IO17C. При T < 30 К необходимо учитывать в уравнении Эйнштейна слагаемое k/a2 , где Ar = — 1. Это даст цифру несколько меньшую, чем 8,97-1017с, но, естественно, большую, чем 7,66-IO17C.
3.2.4 Нуклеосинтез в горячей Вселенной
Теория горячей Вселенной, изложенная в предыдущих параграфах настоящей главы, предсказывает однозначную связь между временем, температурой и плотностью частиц. Поэтому можно задаться вопросом: какие ядерные процессы должны были протекать на ранних стадиях?
Во время лептонной стадии (5 • IO9K < T < IO13K) нерелятивистские нейтроны и протоны могли превращаться друг в друга в процессе слабого взаимодействия
р + Ve «-> п + е+, р+е ^n +Ue.
(3.133)
Характерные времена этих реакций составляют [34]
При 3.2. Основные этапы эволюции Вселенной
215
(см. (3.127)), т. е. вплоть до температур IO10 К, отношение плотности числа Tin нейтронов и протонов Tip было равновесным
где Am есть разность масс нейтрона и протона (Am ~ 1,28МэВ). При Г = IO10K
— = 0,2.
Tlp
Поэтому
——— = 0,17. (3.135)
пп + пр
При более низких температурах условие термодинамического равновесия не выполняется и столкновениями типа (3.133) можно пренебречь. В результате при T < IO10K отношение (3.135) остается прежним.
На следующей стадии процесса происходит соединение нейтрона и протона в дейтерий
п+ р-+ D+ 7. (3.136)
Когда T > IO9 К, дейтерий быстро подвергается фоторасщеплению. Но при более низких температурах, когда излучение становится мягче, становится возможной последовательность реакций
