Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
близкий к концу ультрарелятивистской стадии. Аналогично тому, как были получены выражения для коэффициента ао и времени to жизни Вселенной при выполнении уравнения состояния P = O, получаем в данном случае связи между t\, а і и Н\, Г2і:
'¦ = тЫт7' * = 0'±1; (363) *=="• (М4>
Из формул этого параграфа нетрудно также получить явную зависимость плотности энергии от космологического времени в данном случае:
Зс2__1
32?rG<2 (І + ((і _ 0,)/2^ Hit)
W = OO^a____________(3.65)
Данная формула применима для всех трех моделей.
3.1.5 Световой горизонт и красное смещение
Характерной чертой построенных в предыдущих параграфах космологических моделей является их нестационарность. Масштабный фактор во всех трех моделях эволюционирует со временем, что приводит к изменению расстояний между телами в пространстве. Для малых расстояний это изменение происходит по закону Хаббла (3.38): два тела, находящиеся на расстоянии dl, разбегаются со скоростью V = HdL
Свет, испущенный вторым телом и принятый первым, должен испытывать эффект Доплера: частота принятого сигнала уменьшается на величину
du = -to(3.66) с
Мы записали закон Доплера, для скоростей движения, много меньших с. При малых расстояниях он справедлив с точностью до бесконечно малых более высокого порядка. Подставляя v = Hdl, H = da/adt, dl = cdt в (3.66) получаем: З. I. Модели Фридмана
193
Интегрируя это равенство, получаем связь частоты lj2 света, испущенного В момент времени <2 С частотой ljі света, принятого в момент t1 > <2 •
U1=U^. (3-68)
a(t і)
Расстояние, на котором находится в момент <2 источник света, можно найти из уравнения движения луча света в данной метрике.
Из (3.68) заключаем, что частота принятого сигнала меньше частоты испущенного сигнала. В этом заключается эффект красного смещения: при наблюдении спектра проходящего света все его линии кажутся смещенными в красную сторону по сравнению со спектрами тех же веществ в обычных условиях.
Заметим, что для вывода (3.68) несущественно, был ли квант света испущен в момент <2 с частотой LJi или намного раньше, но имел частоту CJ2 в момент <2 • Поэтому формулу (3.68) можно интерпретировать следующим образом: частота квантов света во Вселенной Фридмана уменьшается обратно пропорционально масштабному фактору a : LJ = const /а.
В частности, свет частоты Uq , принимаемый астрономами-наблюдателями в настоящий момент времени Jo, в более ранние моменты времени эволюции Вселенной имел большую частоту
/ \
a(t)
В космологии для характеристики красного смещения используется величина
= O^ol _ L И) a(t)
Зная величину 2 для какого-либо сигнала, принятого сегодня, мы можем вычислить момент t испускания этого сигнала с исходной частотой CJo • Для этого достаточно воспользоваться определением (3.69) и формулами для a(t), полученными в предыдущих параграфах.
Особенно просто выглядит связь между дифференциалами dz и dt. Так, для уравнения состояния P = O имеем:
a(to) da , Hit) 194
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Воспользовавшись выражениями (3.45)—(3.47) для H(t), а также формулами (3.42)—(3.44) и (3.31)—(3.33), получаем для всех трех моделей
dt =--dI , (3.71)
Ho(l + z)2y/l + Slz
При t = to красное смещение г равно нулю. Отсюда
Z
1 f dz
^to = -Jr0J (i + z)VrrШ- (3J2)
о
При / = 0 из (3.69) имеем г = оо. Поэтому для возраста to Вселенной получаем
со
dz
to
H0J
что согласуется с (3.50)—(3.52).
В результате (3.72) можно представить в виде
сю
= ж1
dz
(l + z)VbHb
(3.73)
В космологии при решении конкретных задач широко используется именно г , как параметр, заменяющий космологическое время.
Из формулы (3.73) заключаем, что кванты света, испущенные в момент t = 0, приходят к нам с красным смещением z = oo. Выясним, насколько далеки от нас сегодня источники этого излучения. Для этого рассмотрим распространение луча света в изотропных и однородных метриках Фридмана. Вдоль мировой линии фотонов ds = 0. Точку, в которой наблюдается сигнал, выберем за начало координат. Из соображений симметрии очевидно, что луч света будет распространяться радиально, т.е. вдоль луча <р = const ,0 = 0. В результате имеем
ds2 = a2(7/)((///2 - di2) = 0. Отсюда, с учетом начального условия ?(770) = 0 ,
C = Io-V,
(3.74) 3.2. Основные этапы эволюции Вселенной 195
где г/о—значение переменной 7/ в настоящий момент to . Знак минус перед г] указывает на направление распространения: сигнал движется к наблюдателю. При rj —> 0 получаем, ? rj о. Следовательно, к наблюдателю могут дойти только сигналы от объектов, имеющих радиальную координату при t = to не более, чем Tj0 . Свет от источников с координатой ? = Tj0 приходит с бесконечно большим красным смещением.
Мы видим, что в каждый момент времени ?/0 наблюдению доступно не все пространство, а лишь его часть, находящаяся в области ? < 1]о . Поверхность ? = rjo называется световым горизонтом. Объекты, находящиеся за световым горизонтом, недоступны наблюдению.
