Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
г = sin С (0<С<тг) * = +1,
г = SinhC (0<С<сх>) Ar = -I, а вместо времени ввести переменную rj:
[ dt v = cJWv
Тогда метрика (3.1) пространства—времени примет вид:
ds2 = a3(T1) [drf - dr2 - г2dB2 - г2 sin2 Mp2] Jfc = 0, (3.4)
ds2 = A3(Tj) [dt? - dC2 - sin2 C(d02 + sin2 0dy?2)] Jfc = +1, (3.5)
ds2 = a3{rj) [<Irlj2 - c/C2 - sinh2 C{d02 + sin2 (Wp2)J к = -1. (3.6)
Эти метрики носят названия: пространственно-плоская метрика Фридмана, метрика закрытого мира Фридмана и метрика открытого мира Фридмана, соответственно. 182
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
3.1.2 Тензор энергии—импульса вещества Вселенной в приближении локального термодинамического равновесия и в бесстолкновительном приближении
Для построения космологических моделей нам нужно знать тензор энергии вещества, заполняющего Вселенную. С помощью функции распределения f(xyp) он вычисляется по формуле (1.13) первой главы.
В приближении локального термодинамического равновесия тензор энергии—импульса вещества имеет вид (1.93):
Tij = (e + P)tiV - Pgij. (3.7)
Здесь с—плотность энергии, P—давление, и%—гидродинамическая скорость.
Запишем уравнения гравитационного поля Эйнштейна:
Gi=Ri- \Щ = (3.8)
где Gj—тензор Эйнштейна, Щ—тензор Риччи, R—скалярная кривизна, G—гравитационная постоянная Ньютона, с—скорость света.
Для метрик Фридмана (3.4)—(3.6) отличными от нуля компонентами тензора Эйнштейна являются только G\ и Gp :
?(?¦*)• <39)
?(4-S+tH (310)
Здесь штрихом обозначена производная по временной переменной т].
Система уравнений (3.8) с тензором энергии—импульса будет совместна только в случае, если система отсчета, в которой метрики Фридмана имеют вид (3.4)—(3.6) является сопутствующей веществу:
Uot = Ol и4 = -.
a
В результате отличные от нуля компоненты тензора энергии-импульса имеют вид:
T44 = C1T^ = -PSf. (3.11) 3.1. Модели Фридмана
183
Плотность и давление вещества являются функциями только от временной переменной т] в соответствии с предположением об однородности Вселенной.
Тензор энергии—импульса удовлетворяет уравнению
Tj = 0, (3.12)
являющемуся следствием уравнений Эйнштейна.
Локальное термодинамическое равновесие возможно в системах, в которых столкновения происходят часто. Интеграл столкновений в правой части кинетического уравнения в этом случае является до-минируюющим членом. Левая часть кинетического уравнения имеет порядок (рЛ/с)(df/dt), где t—космологическое время, а правая часть имеет порядок (р4/с)(1/г)/, где г—время установления равновесия
1
T r^ -.
<ТП I U I
Условие применимости приближения локального термодинамического равновесия есть
t » г. (3.13)
В противоположном пределе
t<T (3.14)
более адекватной действительности является бесстолкновительная модель вещества, когда в кинетическом уравнении пренебрегается интегралом столкновений и функция распределения находится из решения бесстолкновительного кинетического уравнения.
В пространствах Фридмана бесстолкновительное кинетическое уравнение (1.21) имеет вид:
^df M r>« df 9fl/«4„« df r« r/гЛ df _ n /Q
Здесь a' = da/drj , q2 = a2^a?pap^ , ja? —пространственная метрика, P4 = a~2y/m2c2a2 + q2 , T^1—пространственные компоненты символов Кристоффеля 2-го рода. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что одним из решений этого уравнения является произвольная функция от q2 [20]:
/ = Mq2).
(3.16) 184
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Заметим, что интеграл движения q2 можно записать в ковариантной форме:
q2 = (HiPi)2-mV?, (3.17)
где ?2 = , &—вектор конформного движения [21], имеющий в данной системе координат = S14 .
Подставив функцию распределения (3.16) в выражение для тензора энергии—импульса (1.13), имеем
Tij = (б + P)tiV" - Pgij1 (3.18)
где
? - А* * - Л
e = cj -^y(V)Vo = ^j Clqq2VmW + q2fo(q2), (3.19)
о
OO
Ov
(3.20)
При приведении интегралов К последнему ВИДУ учтено, ЧТО 7а0 — диагональная метрика, и введены переменные qQ = ay/:y^pot (суммирования по а нет). Затем мы перешли к сферическим координатам в импульсном пространстве qa
q1 = gsin 0cos у?, q2 sin в sin у?, Q3 = Я cos б
и вычислили интегралы по угловым переменным.
Дальнейшая конкретизация тензора энергии—импульса зависит от конкретной зависимости /о от q.
Получим вид функции /о в следующем важном случае, когда при 7] < 7]о вещество находится в локально-термодинамическом равновесии, а начиная с момента tjq равновесие нарушается и функция распределения находится из бесстолкновительного уравнения. В этом случае при rj = Tj0 функция /о должна совпадать с равновесной функцией распределения (1.87) или (1.89) (при учете квантовых эффектов). В метрике Фридмана эти функции имеют вид
,1 1 ____(нЫ - CyJm2C2 + 1a?{rio)p^pP \
/о 1,=,0= (2^)3-P ( --] ' ( ^ 3.1. Модели Фридмана
185
либо при учете квантовых эффектов
I Virni - С\/т~С~ -tira?iTJOJp-pr \ J"1
ехр
/о ІГ7=Т70 —
(2тгЙ)3
/мЫ - CyJm2C2 + 7а/Э (yo)papP \ g ^ квТЫ ) + .
(3.22)
При Т] > Т]о в качестве /о мы должны взять решение бесстолKHO-вительного кинетического уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (3.21) или (3.22). Это решение имеет вид:
