Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
3Я2 Зс3а'2 Л = 8^7 s SfG?- (3-41)
Значение параметра плотности в настоящую эпоху будет обозначаться через О,.
Используя (3.29), (3.40), (3.41) получим
ГУ/ \ 2aOa
Q M = -JT-
Для каждой из трех моделей получаем:
0^) = 1, Jb = O; (3.42)
(Ґ(ті) = -—--, k = +1; (3.43)
1 + COS 1] З. I. Модели Фридмана
189
=TTd^' *=-L (3-44)
Видим, что в пространственно-плоском мире Фридмана f2' = 1, в закрытом мире Г2' > 1, а в открытом мире f2' < 1. Выпишем зависимость постоянной Хаббла от ті :
H =
4 с
O0Tl4
2_ З Ґ
H =
H =
Sin^
а0 (1 — cos^)2' с shr]
к = 0;
* = +1; к = -1.
(3.45)
(3.46)
(3.47)
а0 (1 — chT7)2'
Обозначим через to возраст Вселенной—время, прошедшее от сингулярного состояния (а = 0) до настоящего момента времени. Переменную т) при t = to обозначим через щ ¦
Пользуясь только что выписанными соотношениями выразим постоянную ао при к = ± 1 через наблюдаемые величины Г2 и Hq :
ао =
П
2#о I П - 1 |3/2'
(3.48)
Данные формулы позволяют выразить величины ?, H , f2' через космолгическое время t, параметр плотности f2 в настоящую эпоху и постоянную Хаббла Hо . В частности, при t —> О плотность энергии ведет себя по закону, одинаковому для всех трех моделей:
GirGt2'
(3.49)
Для пространственно-плоского мира эта формула является точной. Приведем выражения для возраста Вселенной to :
to =
to =
1
ЗЯо'
-jarccosQ-2Я0(1-Г2)3/21"^ 1П
Ifc = O; 2л/П
2Я0 (П - I)3/2 1 О, Г
П
) a J'
2 2 ,-
(3.50) к = +1-, (3.51)
к = -1.
(3.52) 190
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
3.1.4 Расширение однородной и изотропной космологической модели. Уравнение состояния P = е/3
Построенные в предыдущем параграфе космологические модели, полученные при уравнении состояния P = O для вещества Вселенной, являются некорректными. Из построенных моделей следует, что существует момент t = 0 начала расширения Вселенной. При t —> 0 стремится к нулю масштабный фактор модели, а плотность энергии стремится к бесконечности. Но при стремлении а к нулю уравнение состояния P = O для бесстолкновительного газа перестает выполняться.
Действительно, мы считали, что в настоящий момент времени эволюции Вселенной функция распределения /о такова, что максимальный вклад в интегралы (3.19), (3.20), дают частицы с энергией покоя много больше кинетической энергии частиц. Поэтому мы полагали в интегралах (3.19), (3.20) р = y/ja?(v)PaP^ = Qfa(rI) ^ тс и получили уравнение состояния P = 0. В настоящий момент времени эволюции Вселенной это приближение справедливо. Но если масштабный фактор начинает стремиться к нулю, указанное выше неравенство нарушается. В результате на ранних стадиях более приемлемым приближением является приближение q mca. В этом случае из (3.19), (3.20) мы немедленно получаем уравнение состояния P = е/3.
Заметим, что при а —> 0 для импульсов частиц, дающих наибольший вклад в плотность энергии и давление, выполняется неравенство P = y/la?{v)PaP? = Qfa(rI) ^ тс' Следовательно, на ранних стадиях микроскопические скорости частиц близки к световым.
Расстояния между частицами при а —> 0 малы и пренебрежение взаимодействиями частиц возможно недопустимо. Вместо бесстолкновительного описания вещества следует пользоваться противоположным приближением локального термодинамического равновесия. Учитывая высокие микроскопические скорости частиц, следует полагать, что температура вещества на ранних стадиях в энергетических единицах много больше энергии покоя частиц
квТ » тс2.
Из равновесной функции распределения с такой температурой также следует уравнение состояния P = ?/3. З. I. Модели Фридмана
191
Таким образом, на ранних стадиях расширения Вселенной более приемлемым является уравнение состояния P = ?/3. При выполнении этого уравнения состояния из уравнения (3.27) следует зависимость плотности энергии вещества от масштабного фактора метрики Фридмана вида:
*\гАп2
Ca4 = const = іг~7Г- (3.53)
07rG
Из (3.25), (3.53) находим законы расширения Вселенной:
a = Oir7, Ar = 0, (3.54)
а = Oisin г/, Ar = +1, (3.55)
а = OiSh 77, Ar = -I. (3.56)
Зависимость космологического времени ОТ TJ имеет вид
t=zLalT]\ t = o, (3.57)
t= —— (1 — cos J7), Ar = +1, (3.58)
с
^ = -(Chr7-I), Ar = -I. (3.59)
с
Данные формулы определяют зависимость масштабного фактора модели от космологического времени в параметрическом виде. При Ar = +1 масштабный фактор возрастает от нуля при t = 0(^ = 0) до максимального значения при t = a\/c(r] = тг/2, а затем начинает убывать до нуля. При Ar = 0,-1 масштабный фактор возрастает неограничено.
Формулы для параметра плотности имеют в данном случае вид Q7(^) = I, Ar = O, (3.60)
COSii Г]
Qt(T1) = -I- < 1, Ar = -L (3.62)
Chr7
Как и в предыдущем случае, плоская модель реализуется при Q' = 1, закрытая при Q,' > 1, открытая при O^r7) < 1.
Стадию, на которой реализуется уравнение состояния P = ?/3, будем называть ультрарелятивистской стадией. Зададимся значениями постоянной Хаббла H\ и параметра плотности Qi в момент 11 , 192
