Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
/0=(Wехр (——1' (3-23)
либо при учете квантовых эффектов
-О \
-1
/о =
(2тгЙ)3
^Ы-Cyfm2C2^j
ехр|-іігм-1+0
(3.24)
3.1.3 Расширение однородной и изотропной космологической модели. Уравнение состояния P = O.
Для завершения построения однородных и изотропных космологических моделей мы должны выписать и проинтегрировать уравнения Эйнштейна (3.8). С учетом (3.9)—(3.11) имеем лишь два независимых уравнения:
а'2 + ка2 = ^a4f, (3.25)
3 с4
2аа" - а'2 + ка2 = (3.26)
Эта система уравнений допускает следствие: (а3е)' + ZPa'а2 = О, которое перепишем в виде
de л da
Уравнения (3.25)—(3.26) не допускают статических решений при с > 0 , P > 0. Поэтому а' не обращается тождественно в нуль. В 186
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
этом случае нетрудно показать, что система уравнений (3.25), (3.26) эквивалентна системе уравнений (3.25), (3.27), которой мы и будем пользоваться. Заметим, что уравнение (3.27) есть не что иное, как закон сохранения
T$ = о,
записанный в в метрике Фридмана.
Для решения системы уравнений (3.25), (3.27) нам необходимо знать уравнение, связывающее давление P и плотность энергии с. Для этого обратимся к наблюдательным фактам.
В настоящее время Вселенная представляет собой сильно разреженный газ удаленных друг от друга скоплений вещества (галактики и их скопления), равномерно распределенных по всему пространству. Причем разброс скоростей для галактик, заключенных внутри физически бесконечно малого элемента объема (практически это объем диаметра порядка 1000 Мпс), значительно меньше скорости света. Столкновения отдельных галактик друг с другом маловероятны ввиду большой удаленности друг от друга.
Таким образом, по-видимому, в настоящее время вещество во Вселенной можно представлять себе как нерелятивистский бесстолкно-вительный газ. Функция распределения такого газа есть некоторая функция от q2 , а плотность энергии и давление его вычисляются по формулам (3.19) и (3.20). Газ является нерелятивистским. Это означает, что функция распределения /о такова, что основной вклад в интеграл вносит интегрирование по области, где энергия покоя частиц много больше кинетической энергии. Это означает, что при вычислении интегралов (3.19), (3.20) для времен, близких к настоящему, можно полагать
rnca » q. (3.28)
В результате имеем
4ягтс2 Г° 2 2 Зс4а0 1
p=4^ fdqq2 Jk?fo(q2)<<€- ^
Таким образом, в настоящую эпоху давлением вещества можно пренебречь, а величину еа3 следует считать постоянной (мы обозначили эту постоянную как Зс4ао/4ягС). Уравнение (3.27) тогда удовлетворяется тождественно, а из уравнения (3.25) для масштабного фактора 3.1. Модели Фридмана
187
а(т}) получаем следующие результаты для каждой из трех моделей:
a =^a0Tj2 Ar = O, (3.31)
а = ао(1 — Cosr7) Ar = -I-I, (3.32)
a = a0{chrj-l) Ar = -L (3.33)
Здесь мы выбрали постоянную интегрирования таким образом, чтобы масштабный фактор обращался в нуль при rj = О. Вычислим зависимость космологического времени t от rj:
V
I = ^f а(»/)А/. (3-34) о
Подставляя (3.31)-(3.33) в (3.34), получим
t = -Uor73 к = 0, (3.35)
OC
/ = —(/;-sin і]) it = +1, (3.3G)
с
t = -(Shr7 - T7) к = -1. (3.37)
с
В результате мы получили зависимость масштабного фактора от космологического времени в параметрическом виде.
При Ar = +1 масштабный фактор возрастает от О при rj = О до максимального значения при rj = тг, а затем вновь начинает убывать до нуля.
При Ar = 0, — 1 возрастание от нуля происходит неограниченно.
Полученная зависисмость масштабного фактора от времени приводит нас к выводу, что частицы вещества во Вселенной удаляются друг от друга (в случае Ar = +1 удаление сменяется при rj = 7Г сближением). Скорость разбегания пропорциональна расстоянию между частицами. Действительно, так как гидродинамическая скорость U1 вещества не имеет пространственных компонент (ua = О), то система координат, выбранная нами, является сопутствующей. Пространственное расстояние между двумя элементами вещества, различающимися пространственными координатами на Axa , определяется как
I = y/iQPpAxaAxP 188
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
при достаточно малых Axot.
Так как система координат является сопутствующей, то пространственные координаты каждого элемента вещества не изменяются. Учитывая зависимость jQ? ~ a2(t) метрических коэффициентов от времени, получим скорость V разбегания вещества:
"г-ИР "jW- <"8)
Этот закон носит название закона Хаббла [2]. Величина
H{t) = {l/a)(da/dt) = ca'/a2
называется постоянной Хаббла. Эта величина зависит от космологического времени. Постоянной ее назвали, имея в виду независимость от пространственных координат. По наблюдательным данным значение H в настоящую эпоху (обозначаемое как Но) колеблется в пределах от 50 до 100 С.%УПС . В системе СГС
1,6 • KT18(C)"1 < Но < 3,3 . IOel8(C)-1. (3.39)
В космологии широко распространено использование параметра плотности
a^m ("0)
где р = t/c2—плотность вещества, pk — 3#2/8ttG—-критическая плотность, равная
