Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
p = p(t), V = H(t)r, P = P(t), ф=^-р(і)г\ (3.147) 3.3. Теория малых возмущений
219
где г—радиус-вектор, а функции p(t) и H(t) связаны между собой обыкновенными дифференциальными уравнениями:
I+ ЗЯр = 0, dI+ + f Gp = O. (3.148)
Введем масштабный фактор a(t):
a(t) =ехр( J H{t)dt). (3.149)
Из (3.148)-(3.149) следует:
const (> = -
er
Id2 a AttCJ
adF = ~—p- (3150)
Заметим, что из системы уравнений (3.25), (3.27) при P = O также получаем уравнение (3.150). Следовательно, нерелятивистская теория Ньютона дает такое же поведение для масштабного фактора и постоянной Хаббла H, что и теория Эйнштейна при P = O.
Из (3.150) следует: a - ti , (0=1).
К решению (3.147) добавим малые возмущения плотности р\ , гидродинамической скорости vi, давления Pi = (dP/dp)p\ = v2p\ , потенциала (р\ и линеаризируем систему (3.138)—(3.140). Имеем:
~ + p(Vv1) + H(t)(V, Р,г) = 0, (3.151)
dv
1 v2
1 + Hv1 + H(TV)V1 = --2-Vp1 -V^1, (3.152)
dt 1 ' "V-/-1- р
A^i = 4irGpi. (3.153)
Вместо г введем новые пространственные переменные q = r/a(t). В новых переменных система (3.151)—(3.153) превращается в систему линейных уравнений с коэффициентами, не зависящими от q:
+ Wp1 + p(Vv1) = 0, (3.154)
Я 0
+ Hv1 = - -Vp1 - V^1, (3.155)
Ot р 220
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Афі =4тгСрі (3.156)
Здесь V = (l/a)(d/dq. Полагаем p\ = pS и используя независимость коэффициентов уравнений от q, ищем решение системы (3.154)—(3.156) в виде разложения по взаимно ортогональным функциям exp(inq), где n =const.
Для коэффициентов Фурье-разложения получаем систему
^+ I(Icv1) = O, (3.157)
+ Hv1 = -ik(v2S + VJ1), (3.158)
Здесь k = п/а—волновой вектор. Представим v^ в виде (Ar =| k |):
к
V1 = -„и+ Vll
где Vi JL к. В результате из (3.158) получаем уравнение для поперечной составляющей Vjl скорости
dv^Hv1=O,
dt
из которого следует
V1 = —, (3.160)
a(t)
где С - постоянный вектор, ортогональный n.
Для продольной составляющей г;ц скорости из (3.158) получаем уравнение
:?= (мац
Здесь мы воспользовались уравнением (3.159).
Выразив г>ц из (3.157) и подставив результат в (3.161), получим уравнение второго порядка на относительное возмущение S плотности (точкой обозначено дифференцирование по t):
S + 2HS + K2Jfc2 - 4wGp)S = 0. (3.162) 3.3. Теория малых возмущений
221
Для решения этого уравнения необходимо знать зависимость скорости звука Vs от времени. Получим эту зависимость из следующих соображений. При нерелятивистских температурах для вещества в состоянии локального термодинамического равновесия
P = пквТ, е = n(mc2 + \квТ). (3.163)
Плотность числа частиц п изменяется как а"3. Зависимость температуры от а получим из закона сохранения энергии, который совпадает с (3.27):
de __ da — —о ¦
? + P a
Подставляя сюда (3.163) получаем
dT da Л
T+2T = 0'
откуда T ~ сГ2. Поэтому
fdP [р lkBT , /«,/..4
V8 = Л— - J--W-^t - а"1. 3.164
у ар ]1 р V mr
Уравнение (3.162) точно решается при Q = 1 (плотность равна критической плотности). В этом случае
lda _ ^J8irG . _ A*GP
Р-> ^ = (3.165)
а dt V 3 dt2 3
После введения в (3.162) переменной т = а(<о)/а(0 = z + 1, где г—красное смещение, to—настоящий момент времени, получаем с учетом (3.165):
г2
d25 1 dS /3Ua2Ifc2 3\ . „
Если учесть зависимость от г величины
I^i-A4 (3,67)
где A2 —значение этой величины при t = to , и перейти к переменным X = 2 AT1/2, S = X1^2y(X), (3.168) 222
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
то (3.166) принимает вид уравнения Бесселя для функции у(х) (см. [42], Ч.ІІІ, формула 2.162):
Решение этого уравнения есть (Ci и C2 —произвольные постоянные)
у{х)=х^21 [^(Ci cos я+ C2 sin я)] J. (3.170)
Окончательно получаем
S Z= ^- (Ci sinX + C2 cos ж)-
3
- -j(Ci cosz - С - 2sin ж), (3.171)
где
ж = 2Лл/ГТТ = 2Л (j-^ . (3.172)
При X 1 ( k kj) имеем
+ ^ = ± + (3.173)
40 X t
Здесь
A1 = ^t0A3C1, A2 = ^t-2f3A-2C2-
Таким образом, возмущения с длиной волны, много большей джинсовской, нарастают по закону ~ 12^3 .
При X 1 (к kj) имеем звуковые колебания
S = -(Ci sin X + C2 cos ж). (3.174)
Строгая теория подтверждает основной качественный вывод нестрогой теории Джинса: гравитационные возмущения с длиной волны, большей Xj , нарастают. Численные оценки
Оценим величину массы Джинса для первичного водорода, который составляет основную массу вещества во Вселенной после момента рекомбинации. Скорость звука в нерелятивистском газе имеет обычное значение 3.3. Теория малых возмущений
223
* Ailr- (ЗЛ75)
6 тн
Масса Джинса, вычисленная по (3.146), равна в этом случае
м> = 4(д'"(ЩгТп~1'2т~»- <3176>
Сразу после рекомбинации температура вещества T равна температуре излучения и, следовательно, T можно выразить через п и удельную энтропию
— Ъпкв'
которая остается постоянной согласно доказанному соотношению (3.108).
В результате для массы Джинса получаем
= Х'Х^Т = imu^"- <3177>
Если в газ не поступает дополнительная теплота, его температура будет в дальнейшем падать как 1 /а2 и, поскольку п изменяется как 1/а3, масса Джинса Mj будет убывать как а"3/2.
