Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Ограничимся рассмотрением пространственно-плоской модели. В этом случае / = 0. Метрика данной модели в декартовой системе координат принимает вид
ds2 = O2(T7) (Л/2 - Ar2 - dy2 - dz2) . (3.283)
На ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной, когда _ const _ const
C1 — Л/і — -—, C2 — or 2 — -Т"~,
/7. /7^ 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
243
решение для a(rj) имеет вид a = ait], где
/і ЧІ/2
ai = ( -xa4(ei +Ы ) =const. (3.284)
Рассмотрим поведение малых возмущений Sgij метрики a2rjij (Tjij—метрика Минковского), совпадающей с (3.283), возмущения
SF(x,p) функции распределения F0(X1P) и возмущений S (т/) тензора энергии—импульса жидкости :
9ij = a2fIij +
F(x,p) = F0(q2) + SF(x,p),
(т?)2 = (е2 + р2)щи1-P2Sj+ s(ri)2.
Следуя [55], наложим на возмущения метрики калибровочные условия Sgn = O и введем обозначения:
ha? = —h? = Sa6hs? = ha?.
В дальнейшем поднимание и опускание пространственных индексов производится с помощью символа Кронекера.
Линеаризированное относительно метрики (3.283) и функции распределения Fo(q2) кинетическое уравнение для SF(x,p) принимает вид:
9SF QS1 _ ^dSF = у ^o F дг) У дх« a dp« dp« К )
Если в (3.285) перейти к переменным qa , подставить в правую часть из (3.214), (3.215) и ввести вместо SF функцию (qa = Sapq&)
і яр
f = SF-Tqh" (3-286)
нетрудно получить уравнение
y/mW -H2dJ-+ q°К- = ^VmW + чЩУяЛ. (3.287)
Здесь и ниже по повторяющимся пространственным индексам производится суммирование. 244
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Возмущения компонент тензора энергии—импульса газа имеют вид:
S(U)1=Cj ^flpipkSF + cj dzpFo5 .
Переписывая последние соотношения с помощью новых переменных qQ = а2ра , нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
* (7^)1 = d3qVmW+qif, (3.288)
5Wi = -^ j dV*/, (З-289)
* (П) = « / IaWd3* /, (3.290) У ?>1 a* J ^mVea+ ?2
Возмущения компонент тензора энергии—импульса жидкости получены в [55] и приведены в предыдущем параграфе:
rf (T4)2 = Se2} ?(Т4«)2 = a(P2 + e2)Su«, & (Tf)2 = S^Se2.
(3.291)
Здесь Sua—возмущения пространственных компонент вектора скорости жидкости. Отметим, что вследствие тождества U1Щ = 1 временная компонента и4 вектора скорости жидкости не испытывает возмущения.
Возмущения символов Кристоффеля и смешанных компонент тензора Эйнштейна также приведены в предыдущем параграфе (см. (3.214)—(3.218)).
В результате мы приходим к следующим линеаризированным уравнениям Эйнштейна:
b%-h?a+2-h'= ^ [ cPqy/riWT? f+^a2Se2, (3.292)
CL С CL J С
= Г d3qqaf + + P2)5Ua, (3.293)
^ ' 0 Ct / с
Ki+К,: - - Ч+с-«)"+- fftS -
и а C3я2 J ^mVa2 + g2 с4 de2
(3.294) 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
245
Здесь использовано обозначение: h = ha .
Эти уравнения следует дополнить уравнением (3.287) на функцию
/.
Система уравнений (3.292) - (3.294) и (3.287) является системой линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, не зависящими от пространственных координат xa . Поэтому для решения этих уравнений можно применить преобразование Фурье по пространственным координатам:
= J d3nft?(77, bfn) exp(mx), (3.295)
/(г),х*,ЯЄ) = j d3nf(rj, n, q?) exp(mx), (3.296)
Q(Tj)Sua(Tj^xp) = j d3nva(Tj, n)exp(mx), (3.297)
Se2(Tj1Xa) = j d3nSe2(Tj} n)exp(mx). (3.298)
Фурье-образы возмущений, стоящие под интегралами в последних соотношениях, можно представить в виде разложения по шести линейно-независимым тензорам:
hi(n, n) = А(,, n)Pg + v(r), n)Qi + ? ЫП, +
W
6=i bW1
2
+ 5>(i?,n)tfJ)e. (3.299)
6=1
Первые два слагаемых в (3.299) мы, следуя [55], назовем скалярными гравитационными возмущениями, слагаемые, пропорциональные тензорам + Spb^na)—векторными возмущениями и слагаемые, пропорциональные тензорам H^a—тензорными возмущениями или гравитационными волнами. Здесь п = ^fnaTiol,
p? - \s? _ n"n? n? _ \s?
- 3Oa n2 , 4a- 3V
Sab^ у где 6 = 1,2,—трехмерные векторы, ортогональные трехмерному вектору na :
s(b)n<* - °> sWoc - aa?Sfby 5(6) = yjSwaSfcby 246
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Их мы будем называть векторами поляризации векторных возмущений. H(b)a > где 6=1,2 ,—два линейно независимых тензора поляризации гравитационных волн, удовлетворяющих условиям
naH?b)? = 0, Щь)а = 0.
Тензоры поляризации гравитационных волн могут быть выражены через векторы поляризации векторных гравитационных возмущений:
H? _ S{1)<*S(1) _ SW<*S(2) ? _ S(l)<*S{2) _ S(2)<*S(1)
{1)a ~ Sh Sf2) ' "<»• - 5(1)5(2) 5(1)5(2) •
Фурье-компоненты vot(tj1ti) возмущений пространственных компонент макроскопического вектора скорости жидкости также представим в виде разложения по трем линейно независимым векторам:
2
у*(ъ n) = vll(Ч| п) ? + ? 11(6,1 (3.300)
п ьґі 5W
Подставляя (3.295)-(3.298) в (3.292)-(3.294) и (3.287), используя разложения (3.299), (3.300) и приравнивая под интегралами в обеих частях уравнений коэффициенты при линейно независимых векторах и при линейно независимых тензорах приходим к трем независимым системам для скалярных, векторных и тензорных возмущений. Система уравнений для скалярных возмущений принимает вид:
