Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
Согласно (3.177) после рекомбинации водорода имеют возможность нарастать возмущения с массой, большей чем IO5 — IO6 масс Солнца. В действительности, однако, к моменту рекомбинации все возмущения с массой меньшей, чем
не выживают вследствие влияния диссипативных процессов в радиационно-доминированной плазме (см. [46]—[50]).
В последней формуле Ur - плотность числа атомов водорода на момент рекомбинации, <тт = 8яге4/3т2—томсоновское сечение рассеяния.
При современной плотности масс IO"29 г/см3 критическая масса Mc равна 5 IO12Mq . При плотности IO"30 г/см3 критическая масса составляет 2 • IO14Mq . Выжившие к моменту рекомбинации возмущения с данными массами после момента рекомбинации испытывают 224
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
рост, так как данные массы намного превышают массу Джинса. Закон их роста получен выше
3
P
Указанные выше массы равны по порядку величины массе большой галактики.
Таким образом, теория развития гравитационных возмущений в расширяющейся Вселенной в принципе способна объяснить образование крупномасштабной структуры вещества во Вселенной. Более корректное рассмотрение гравитационных возмущений в мире Фридмана должно быть проведено в рамках общей теории относительности и с учетом реального состава вещества во Вселенной. Этому вопросу посвящена следующие параграфы данной главы.
3.3.2 Неустойчивость бесстолкновительного газа
Рассмотрим задачу о возмущениях однородного бесстолкновительно-го газа в рамках ньютоновской теории тяготения [51]—[54].
Поведение гравитирующего бесстолкновительного газа описывается системой уравнений Пуассона и кинетического уравнения
Аф = AwGp1 (3.178)
Здесь /(<,r,v)—функция распределения частиц нерелятивистского газа, V—скорость частиц, г—радиус-вектор частиц. Функцию распределения нормируем так, чтобы плотность масс вычислялась по формуле
p = J d3vf. (3.180)
Вначале, с целью выяснения качественных особенностей поведения возмущений, рассмотрим, следуя Джинсу, возмущения на фоне статического однородного распределения вещества
<р = 0, p = J d3vf0 = const. (3.181)
На самом деле (3.181) не является решением системы (3.178)—(3.179), но как мы убедились в предыдущем параграфе, допущение такой 3.3. Теория малых возмущений
225
ошибки позволяет тем не менее указать длины волн, при которых возможен рост флуктуаций плотности.
Подставляя / в виде /о -f /і и оставляя только линейные по возмущениям слагаемые, получим
j d3vfi, (3.182)
Аф = 4жЄ / cf3v/i,
дЛ + ЛгдЛ = д^дЛ. (3.183)
dt dr dr dv v '
Решения ищем в виде плоских волн Ф = Фехр(гкг + ft), где Ф — любая из величин ip, Д . Имеем
- к2ф = AirG I d3vfu
J d3vf\, (3.184)
(7 + acv)/1 = ik^. (3.185)
Выражая /і из (3.185) и подставляя в (3.184), получим дисперсионное соотношение для 7(к). В частности, при к —)¦ 0 для длинных волн получим
72 = j cf3v(kv) (к^) = 4*G j d3vfo = 4*Gp,
т.е. тот же результат, что и раньше. Найдем критическую длину волны из условия 7 = 0. Имеем
kj = -AnG J d2vL J dv^v-1^. (3.186)
Здесь = Ar^1(Icv)—продольная составляющая вектора скорости, V1—поперечная составляющая ( (kvjJ = 0). Для максвелловского распределения
/О = COnst- ехр (-^1)
получаем из (3.186):
k2j = 4 (3.187) 226
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Таким образом, вновь подтверждается наличие критической длины волны Aj = 2n/kj . Роль скорости звука в данном случае выполняет величина (квТ/т)1/2, равная по порядку величины средней тепловой скорости частиц газа.
Рассмотрим поведение возмущений в однородно расширяющемся бесстолкновительном газе. Система уравнений (3.178), (3.179) допускает решение, описывающее однородную расширяющуюся модель:
Здесь a(t), H(t) и p(t)—масштабный фактор, постоянная Хаббла и плотность вещества:
Pit) = j d3vfo(u2) = </3u/o(«2) ~ (3.190)
Три функции времени a(t), H(t) и p(t) связаны между собой уравнениями (3.148):
Для исследования возмущений перейдем к новым переменным в системе уравнений (3.178)—(3.180):
Ч> = InGpity, f = fo(u2), VL = a(t)(v - H(t)r).
(3.189)
(3.188)
a
= H, н + н2+^ = 0, p + wp = 0.
o
a
u = a(t)(v-H(t)r),
a(t)
Ф = <р-1пСрЦ)г2.
(3.192)
(3.191)
После замены переменных приходим к системе
(3.193)
df_ udf _дФ0/ dt a2 oq oq du
= 0.
(3.194)
Здесь Aq = a2A — лаплассиан в координатах qa . Подставляя в (3.193), (3.194) / и Ф в виде
/ = Mn2) + /і(<,и)ЄШ<1, Ф = Ф !(OeimI 3.3. Теория малых возмущений
227
и ограничиваясь только линейными по возмущениям слагаемыми, получим
- ТГФі
^ J d3ufu (3.195)
Решение уравнения (3.196) имеет вид
dh dt
/і = /і(*<ьч)ехр -i(nu) J ^Ty] +
to
t t + / Л'ехр[-І(ш.) J ]іф,(0 . (3.197)
to t'
Для длин волн, много больших длины волны Джинса, при вычислении интегралов можно положить
(nu) f^)«L (3198)
t'
Разлагая (3.197) по степеням величины (3.198) и ограничиваясь только первыми неисчезающими слагаемыми, получим:
/. ґ
J d3Uf1 = a3Sp = a3(to)Sp(to) - n2 J J A"®i(t>V (3.199)
