Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
у/тп2с2а2 + q2-^- + inq cos вFc =
от]
= I^m2C2Ci2+q2<^(\' + // - 3Vcos2 0), (3.301) 6 dq
а! , п2, %ч 8TrG
16тг2С
+ у (A* + A) = ^a2Je2+
+ J de sine j dqq2y/m2c2a2 + q2Fc, (3.302)
о о
m(// + А') = ^(е2 + P2)a2v{ 1+
oo
487t2G fn f
+ з 2 / </0sin0cos0 / <%3FC, (3.303)
CdJ о J
0 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
247
А'Ч2-А'-^(аі + А) =
a о
= Trf0sin og2 7 g^L=, (3.304) с о, J0 v > J y^vT?' v ;
ov
// ofl/ , ^2, XX 24ttG 2</P2f -1^rdQs . (3.305)
c3a2 7o /о y/m2c2a2 + g2 V
Система уравнений для каждой из двух возможных поляризаций векторных возмущений принимает одинаковый вид и поэтому мы в этой системе опустим индекс 6, нумерующий поляризации:
\/m2c2a2 -f q2-7r~ + ІЩ cos ^Ft, =
ОТ)
= \q^m2c2a2 + q2<^<r' sin20, (3.306)
4 dq
7Г OO
tW = -^a2(€2 + P2K - J d6Sin2 0 J dqq3Fv, (3.307)
о о
= ^ Г d9 »in 0 sin 20 Г L=. (3.308)
a c3a2 Jo 7o y/m2c2a2+q2
Каждая из поляризаций тензорных возмущений также подчиняется одной и той же системе уравнений (поэтому мы здесь также опускаем индекс нумерующий поляризации):
\Jm2c2a2 + q2~7T- + inqcos0Ft = -q\/m2c2a2 -f sin2 0,
or} 4 dq
(3.309)
v" + 2—v' + n2v = -J-J- f de sin2 в Г / ^ . (3.310) a c3a2 J0 J0 yj mic2a2 + q2
Здесь мы перешли к сферическим координатам в тройных интегралах по q:
q1 = q sin 0 cos q2 = q sin 0 sin <?>, q3 = q cos 0. 248
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
За декартовы оси координат, от которых отсчитываются углы вир, приняты направления векторов S(I)a , 5(2)« и nQ :
л nq qS(2)
COS0=—, tg у?=—
nq qb(1)
Кроме этого в выражениях для возмущенных компонент тензора энергии—импульса газа проведено интегрирование по ip и введены обозначения:
2тг
dp/, (3.311)
2тг/
2тг 2тг
^(1) = ^ J dp cos ipf, Fv{2) = ^J dtp SiiKpf1 (3.312)
о о
2тг 27Г
^t(I) = J^J cos 2<pf1 Ftw = j d<p*\n2ipf. (3.313)
о 0
Система уравнений (3.301)—(3.305) допускает решения, соответствующие фиктивным изменениям метрики (см. [55]): а)
X = -P = const, Fc = 0, Se2 = 0, V|| = 0; (3.314)
Ь)
\ і Qa' 2 f drI Qa'
л р — —о —, р — п I--3 —,
a Jaa
1 dFo ( a' in
Fc~ 2 dq
q—.7 + — \Jm2c2a2 -f q2 cosO) a1 a J
Se2 = ^(t2 + P2), «и = — (3.315)
В справедливости этих частных решений легко убедиться непосредственной подстановкой (3.314) и (3.315) в (3.301)-(3.305). При этом нужно использовать явный вид выражений для плотности энергии и давления бесстолкновительного газа (3.280) и (3.281) в невозмущенном состоянии и невозмущенные уравнения Эйнштейна для пространственно-плоской метрики Фридмана:
a'2 = f?ra4(?l+?2)' (3316) 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
249
2aa" - a'2 = -®^a4(Pi + P2). (3.317)
с4
Система уравнений для векторных возмущений (3.306)—3.308) допускает фиктивное решение
(7 = const, Fb = 0, v± = 0. (3.318)
Рассмотрим возмущения на ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной, когда Єї — ЗРі , C2 = ЗР2, а = аі?7. В этом случае энергия покоя частиц газа много больше кинетической энергии и, следовательно, в линеаризированных уравнениях Эйнштейна мы можем полагать q mca .
Введем обозначения х = cos 0, t =^ щ,
27Г СЮ OO
* / SttG /¦ / з 16тг2(; Г 3 _
= Jd* J dqq f = J Vft,
0 0 О
27Г OO OO
ж / ,4 SttG Г, 3 r 16TT2G Г 3 Ф|/(1)0М) = -^3 d^ dqq c0s^f = - с3 / dM jfWl)'
0 0 о
27Г OO CO
ж / ч ^TTG /' /* о . , 16TT2G [ , 3 ^
Фг/(2)(.М) = -^3 J dV J dqqasm(pf = - J dqq Fvi2h
OO о
27Г оо OC-
ж / ,ч 87rG [ j [ j 3 or 167r2G f j Зр
??(1)(3,*) = j d^ J dqq^ cos2^Z = ~ 3 J Ft( 1),
OO 0
27Г оо оо
ж / 8nG f J f J 3 • O r 167T2G r 3r,
Ф*(2)0М) = Ip dM sm2V f - ~ а с з / dqq'
0 0 0
В новых переменных система уравнений для скалярных возмущений на ультрарелятивистской стадии расширения Вселенной принимает вид:
Яф
_? + іагфс =-(A + /i-3z2A), (3.319)
at a -f I
2 +1 ^ + J(A* + A) = - j dx9c{t, Jr) + 3^, (3.320)
-i 250
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
i(? + Л)/2 = -3 / dxx9c(t,x) + -^—v\u (3.321)
J 1 + Ot
-і
.. . ^2 У
і1 А + 2tx - j(ii + Л) = - / - Зя2)Фс(/, x), (3.322)
-і +і
t f Se
t2ji + ЙА + j(/i + A) = / іа?Фс(<, ж) - 3-у. (3.323)
-і
Здесь точка обозначает дифференцирование по t = щ, a = ei/e2 = = 7/(1"~7) j 7 — еіЛ > 6 = fi+^2—полная плотность энергии вещества во Вселенной.
Отметим важные для последующих вычислений дифференциальные следствия системы (3.319)-(3.323):
4 г?| j -f г(1 -f a)g = 0, (3.324)
2/* + Aivll + Зг(1 + a)g = 0. (3.325)
Здесь д = So2/1 .
Система уравнений для векторных возмущений принимает на ультрарелятивистской стадии расширения вид:
8Ф Ягу J-
~dt~+ Іхфу = аТТ^ ^2' (3'326)
+ 1
it2& = 2 J dx\/l-x^v(t,x) - Y^vJ-'
(3.327)
-1
+1
+ 2/0- =-2 J dxxyj 1 - ж2Ф„ж). (3.328) -і
Дифференциальным следствием этой системы является
Vi = const. (3.329)
Таким образом, заключаем, что в случае векторных возмущений физическая компонента скорости жидкости остается постоянной как 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
