Макроскопическая гравитации - Захаров А.В.
ISBN 5-8037-0053-3
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Будем интегрировать в интеграле
+іоо+Д
*(*) = 2h / dpePtZp' (3'356)
-іоо + Д
по пути, смещенному далеко влево за особые точки р = pk функций > Ap, Qp, Vp и огибающему эти точки (см. рис 3.1). При достаточно больших t = щ наиболее существенный вклад в интеграл внесет интегрирование по части пути, расположенной в непосредственной близости OT точек P = Pk . Поэтому для вычисления интегралов (3.356) способом Ландау достаточно знать разложения функций Pp^p1QpiVp в окрестности их особых точек. Особые точки решений уравнений (3.347), (3.350), (3.353) совпадают с особыми точками коэффициентов этих уравнений [91]. Поэтому функции рр , Ap имеют особенности в точках р = ±г, р = ±г'/\/3 и, как нетрудно видеть из (3.341) и (3.346), в точке р = 0. Функция Qv имеет особенности в точках р = ±i, р = 0 , а функция j/p —в точках р = ±г.
Для решения уравнений (3.347), (3.350), (3.353) в окрестности точек р = ±г введем переменные 5 = 1±гр и разложим коэффициенты по степеням S .
Уравнение (3.347) для скалярных возмущений принимает вид:
к=О
оо
= E + л?в*+* M' (3-357)
к-о
где правая часть — это разложение функции
-Wl+ р2ФІР)е~рІ0
в окрестности точек р = ±г (5 = 0).
Первые коэффициенты CLk имеют вид:
3 11
ао=4> отрешение этого уравнения ищем в виде ряда [91]:
OO
R= J2 -On-^s3Mro. (3.358)
n,m=0 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
257
Рисунок 3.1: Контур интегрирования 258
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
Подставляя (3.358) в (3.357) и приравнивая коэффициенты при подобных слагаемых слева и справа, получаем рекуррентное соотношение для коэффициентов А™ :
-(m + 2)(m + 1 )А™+1 - Y^te1 - ЗЛГі1 + 2Л-"1] +
+ Wj-S + }. (3.359)
Здесь предполагается, что Л™ = 0 при п < 0 или m < О, и .4о —две произвольные постоянные.
Используя теперь (3.341), (3.342) и (3.346) приходим к следующим разложениям для рр и Xp :
^ ' k ,771 — 0
1 °° /* -- ? (2-6s + 3s2)G?V / «*"2(«3 In 5)md5, (3.360)
9 /с ,771,/ = 0 ^
/l J \ 1 00
^p + Ap = -е-Р(° ( -/iotop2 + g P J - - E (2 - 5s+
1 °° /"
+ ^,m \n s)m ds (3 361)
/С ,771 = 0 J
где
Первые члены полученных разложений в окрестности точек S-Ii ±ip = 0 имеют вид:
рр = - J (2 - 45 - S2 - S3)G°X In 5 - ^Gjs2 In 5-У о
- ^Gls3InS + О*(s4Ins) + Mi1 (3.363) 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц
259
цр+ Xp = -i(l - s)G'? Ins - 1 - 2s)s2 Ins-
-^G11s3 In s+ 0*(s4lns)+ Ni. (3.364)
Здесь M±,N±—степенные ряды по s = l±ip. Из выражений для коэффициентов G™ (3.362) и Л™ (3.359) получаем G01 = 0. Поэтому, переобозначая постоянные (Gi = —(2/3)Gj,G2 = —(4/9)G{) , получаем следующие разложения для рр и Ap в окрестности точек
5 = 1 ± р:
Pp = Iqfc (1 - ф2 In 5 + HcJ 53 In 5 + О* (s4 In 5) + М± , (3.365)
^ о
рР + Xp = ^Г,1±(1-2я)в21пя + Г,^в31пв + 0*(в41пв) + ЛГ±. (3.366)
Уравнение (3.350) для векторных возмущений в окрестности точек S = 1 ± ip = 0 имеет вид:
d2Qp
ds2 ' 1 +
OO
+ K6fesfc -?(2-3s + s2)slns
Л=о
71=0 U = I
Здесь правая часть есть разложение взятой со знаком минус правой части уравнения (3.350). Несколько первых коэффициентов 6* :
6о = 4, 6i = —24 + 12(1п2 — ітг).
Решение уравнения (3.367):
OO
Qp= в?sn (s3 lns)m, (3.368)
n,m=0
где Bq и ВI —произвольные постоянные, а В™ при остальных положительных значениях индексов определяются из рекуррентных соотношений
= (.+ «,)(¦.'+»m-i){ - <" +1)(2" + - "ЧМ- 260
ГЛАВА 3. Релятивистская космология
п-2
-{m + 2)(m + l)B™+i - Y^fE6*5?-*-' - 125--1+
k=O
+ ISB^11 - 6^-1] + Vt2Smo + ^1Jml}. (3.369)
Первые члены разложения (3.368) имеют вид:
D± D±
Qn = -±-s3 In 5 + -^-S4 In 5 + О"(s5 In 5) + Xi. (3.370)
о? 4!
Здесь К±—степенные ряды по S = l±ip; Bf и B^—произвольные постоянные, линейно связанные с Bq и В° соответственно.
Уравнение (3.353) для тензорных возмущений в окрестности точек S = 1 ± ip имеет вид:
4 ' к=0
oo oo
= (3.371)
TJ=O л =2
Здесь правая часть есть разложение по s взятой со знаком минус-правой части уравнения (3.353). Несколько первых коэффициентов
Ck :
1 1 - За
Со =т, С I = ———
4 4(1+ а)
Одно из независимых решений однородного линейного уравнения, соответствующего (3.371), имеет вид:
oo
U1 = J2 C'™sn+Hs3lns)m, (3.372)
П ,771 = 0
где С™ определяются из рекуррентных соотношений
С = '3[ ,{- (.» +1)(2.. + 0,,.)(-;?1 - (,„ + 2)(.» +1
- JfS=Jc-' - whftt-t(3 373)
Cg = 1 (С* = 0, если п < 0 либо к< 0). 3.5. Влияние бесстолкновительных частиц 261
Второе независимое решение однородного уравнения имеет вид:
OO
U2 = Uilns+ DZsn+$(s3lns)m, (3.374)
n,m=0
где Dg = О,
К = 1 { - (2п + 6m)C? - 2(т + 1
Qry
-2(m + l)(n + 3m)Z« - (m + 2)(m + 1)0?2 - ^ДГ+1 +
. + '
+ ' - - Ь^}. (3 375)
Наконец, частное решение неоднородного уравнения (3.371) имеет вид:
OO
U3= 22 EZsn+*(s3\ns)m, (3.376)
n,m=0
где = О,
К = (п+\т)Л " (m + 1)(2П + - (т + 2^ra + !)?2"
За „т_, . 9а „т_, За
