Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
Пример IV.2 (в R3). Векторы
' г '(Г ¦ 0' '0'
-1 . Ч;2 = 0 , Ф' = -1 , Ч>2 = 0
0_ .1 0_
удовлетворяют условиям <113,, 4>/> = 6/у, t, /'= 1, 2. Матрицу проекции
Р, определяемую соотношением
2
р-х= 2 <*. ч^ф,-
(=i
(IV.42)
можно построить из столбцов Р е, матрицы Р, где е, суть стандартные
ортонормированные базисные векторы в R", <е,-, е,> = б,,. Поэтому
з
(Р-*)-е<=(Р-х),= 2 (р
/= i
Таким образом, PtJ = (Р-е,)г. Например, (IV.42) можно было бы записать в
виде
2 3
(Р-х)г= 2 .2 <еу, Ф*ХФ/. ег> х/>
так что
Поэтому
с= 1 / = 1
2
I
1=1
Ру = 2 <е/, Ф/ХЧ3;. ег>-
Р =
-1 О' 1 О О 1
и Р2 = Р.
Проекции представляют собой математический инструмент, который мы
применяем для уменьшения размерности бифуркационных задач. Чаще
используют проекции, коммутирующие с линейным оператором А:
Р-А = А - P. (IV.43)
Пусть А - линейный оператор в R" (представимый посредством (п х п)-
матрицы), имеющий собственное значение а кратности nv с индексом Риса v.
Результаты, приведенные в дополнении IV. 1, гарантируют возможность
построения проекции Р, определяемой соотношением
Р-х = 2<х> ФГт'> Ф'Г.
64
ГЛАВА IV
Мы утверждаем и затем докажем, что
Р'А х=А Р х для любого х.
Для доказательства определим Т = А-ст1 и покажем, что равенство
Р Т х = Т Р-х эквивалентно (IV.43). Имеем
ТРх=2<х, 4)J(m>> для
т
= 2<Х, i|)*<m+1)> для -1.
т
Дополнительно к этому имеем
Р-Т-х = 2<х> Тг-^т>^} для
т
= 2<Х, i|y(m+1)> i)-;(tm)' для 1 < /Л ^ V,. - 1,
т
что и доказывает (IV.43).
Пример IV .3 (в R4)
'0 0 1 1
0 0 -I 1
0 0 0 1
.0 0 0 1
Нулевое собственное значение имеет кратность 3 и индекс 2, и можно взять
следующую систему обобщенных собственных векторов:
"Г ¦ г '0"
0 -1 0
0 0 , f<2> = 1
.0. 0. _0_
' г Г 0" ¦ 0"
т|5*<' = 1 0 2. , t2<1,= -. о о 1 I . t;2,= 0 1 1.
Проекция (являющаяся суммой проекций описанного выше типа) Р = <-,
'ф1*1|>гИ1Ч-<-, Ч>"*(1,> Ч41 +<•,
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ И А'-МЕРНОМ СЛУЧАЯХ 65
имеет матричное представление
Р =
и можно проверить, что
Р Т = Т Р =
'1 0 0 -2~
0 1 0 0
0 0 1 -1 У
_0 0 0 0.
'0 0 1 -1
0 0 -1 1
р = 0 0 0 0
.0 0 0 0
действительно совпадает с Т на подпространстве, порождаемом 4,
44й. 4-22>. т- е- Т-х = Р-Т-х, где х = атр(111 +Р4г1) + у4
случае это подпространство содержит все понента которых равна нулю.
41',
В данном векторы, четвертая ком-
42)
Глава V
БИФУРКАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ И УСТОЙЧИВОСТЬ бифуркационных РЕШЕНИЙ В
ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Мы теперь переходим к анализу стационарных бифуркационных решений
двумерных автономных задач (IV. 1). В этой главе мы рассматриваем
двумерную задачу и записываем (IV. 1) в скалярной форме:
^ = Г(Р. И,), /=1,2, (V.1)
где
/(1,(р, "1, ui) = a0ul+b0ui + \i(a'(\i)ux +Ь'(Р')м2) +
+ (р) "I + 2pt (р) "!"2 + ух (р) ы* + О (|] и ||3),
f(a,(p. "х, "2) = с0ы1 + йиыа + р(с,(р)ы1 + ^,(р)ыа) +
+ (р) Ul + 2Р2 (р) U1U2 +у2 (р) и2 +0 (|| U |]3).
Старшие члены в fu> суть элементы матриц (Лгу(р)) и (B[jk(р)),
определенных формулой (IV.2), и ||u j|2 = ul -f ul.
В гл. IV мы исследовали устойчивость решения и = 0 в терминах собственных
значений о (р) матрицы А(р). Теперь найдем условия, при которых могут
ответвляться новые стационарные решения (V. 1), и укажем условия, при
выполнении которых они будут устойчивы по отношению к малым возмущениям.
§ V.I. Вид стационарных бифуркационных решений и их устойчивость
Существует много эквивалентных способов параметризации одного и того же
бифуркационного решения. Можно использовать заданный параметр р и искать
бифуркационные решения в форме (р, и1(р), ц2(р)). Или можно ввести
амплитуду е, определяемую посредством некоторой функции от их и и2, и
разыскивать решения в форме (е, р(е), ц,(е), м2(е)). Например, можно
взять е = ых, или е = ц2, или е = /(",, иг) для некоторой хорошей функции
/. В более общих случаях, подобных тем, которые встречаются при
исследовании бифуркации решений уравнений в частных производных,
амплитуду бифуркационного решения можно определить при помощи
соответствующего выбора функционала. Определения, подобные (VI.7), на
которых основывается проектирование бифуркационного решения,
УСТОЙЧИВОСТЬ БИФУРКАЦИОННЫХ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ 67
особенно удобны. Различные определения е эквивалентны, если они связаны
между собой обратимым преобразованием.
В этой главе мы часто будем параметризовывать бифуркационные ветви
соотношениями
: в, и2 = еу(г), р = еХ(е).
(V. 2)
Прежде чем приступить к исследованию решений (V.2), представляет интерес
провести анализ задачи, используя заданный параметр р:
(р, ии ыа) = (Р, Мр), н2(р)). (V.3)
Для получения решения в форме (V.3) достаточно, чтобы (ы,, и2)
представляли собой точки пересечения на (ии ы2)-плоскости двух кривых,
определяемых уравнениями
ft(р, "1, и2) = 0, 1=1, 2,
при некотором р = р0, и чтобы для этого же самого значения р0 выполнялось
условие
det О,
где
fdh
дщ
dh
- диг
d[i-\
ди2
dh
ди~ J
теоремы о неявной функции в IR2 (см. дополнение V.1).
