Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
<х/, у^> = 0.
(IV.9)
<Х/" У//> = 6,7 для t, /= 1, 2, т. (IV. 10)
IV.4.1. Собственные значения
Р (a) = det ас° =ст2-ст(а + d) + ad-bc = 0,
где дискриминант дается выражением
aL^I+ьс^^у
4 4
- ad + be = -j- (tr A)2 - det A
и
de
tr A = a + d.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ И W-MEPHOM случаях 53
IV.4.2. Собственные векторы
v _ *21 гяр {а-о2)х21+Ьх22 = О, 2 |_*22 ' cx21+(d-o2)x22 = 0;
^ii 1 (а-ог) г/и + сг/12 = 0,
Vj= - , где , , , _ "
- где - -
У12. by X]-|-(d Oi) у12 = 0,
где -
#22J ' by2l+(d-o2)y22 = 0.
IV.4.3. Алгебраически простые собственные значения
Случай 1. А > 0. а1фо2 - вещественные. Существуют два вещественных
собственных вектора и два присоединенных собственных вектора.
Случай 2. А < 0. a2 = at. Существуют два собственных вектора, и они
являются комплексно-сопряженными. То же самое справедливо для
присоединенной задачи.
IV.4.4. Алгебраически двойные собственные значения
Случай 3. А = 0. Тогда = ст2 = (a -f- d)/2-собственное значение с
алгебраической кратностью два. Задачи для собственных векторов приводятся
к уравнениям
и каждый вектор х есть собственный вектор, соответствующий °1 - °2 =а.
Можно выбрать два ортонормированных вектора. Поэтому а-двойное
полупростое собственное значение.
(IV. 12)
<7#i +с#2 =0, by1-qyi = 0,
(IV. 13)
где q = (a-d)l2 и А = q* -)- be = 0.
IV.4.4.1. Индекс Риса 1
q = Ь - с = 0.
(IV. 14)
Тогда
54
ГЛАВА IV
IV.4.4.2. Индекс Риса 2
q*-\-bc = О,
| + | 6 | + | С | =7^=0.
Собственное значение о = Oj = а2 = (а + d)/2-алгебраически двойное и
геометрически простое.
Существует один и только один собственный вектор, удовлетворяющий (А-
ст1)-х = 0, с произвольным условием нормировки. Компоненты %!, х2 вектора
х удовлетворяют (IV. 12), и если q=?0, или сф0, или ЬфО, то для х имеем
выражение
'-b/q' ~qic С 1 ' 1'
1 - Х4 - -Я1Ъ\Х' = c/q_
- 'q/b - -c/q - Г 1 1 - [11
У = 1 Уг - 1 Уг - b/q\yi
Аналогично, существует один и только один собственный вектор,
удовлетворяющий (Аг-ст1)-у = 0, с произвольным условием нормировки.
Компоненты yt, у2 вектора у удовлетворяют (IV. 13), и если
Ьф0, или qф0, или сф0, то для у имеем выражение
Ух-
Скалярное произведение х с его присоединенным вектором не может быть
нормировано, потому что
<х, у> = х-у = 0. (IV.15)
Рассмотрим теперь обобщенные собственные векторы ?, удовлетворяющие
уравнению
(А-ст1К=*х. (IV. 16)
Поскольку х-собственный вектор, имеем
(А-ст1)2? = 0. (IV. 17)
Каждый вектор в R2 удовлетворяет (IV. 17), потому что
q b .с ~Я.
Но для ?, удовлетворяющего (IV. 16), необходимо выполнение уравнений
<$1 +&?* = *! =
= -(b/q) х2, если qФ 0,
С? 1 <7^2 = Х2.
Аналогично, существует обобщенный присоединенный собственный вектор ?*,
удовлетворяющий уравнениям
(Аг-al)?* = y, (А7--ст!)2 •?* = ()
(А-ст1)2 =
устойчивость решений в двумерном и W-MEPHOM случаях 55
И
+с?а - Ун 9^2 = У г-
Задавая у, можно пронормировать скалярное произведение обобщенных
собственного вектора и присоединенного собственного вектора к какому-то
значению, например к 1:
<С, У>=1- (IV. 18)
Поскольку
<Б, У> = <?> (АГ-ст!)-?*> == <(А -CTI) • g, ?*> =
= <х, Б*> = С^1+Б1Л=_
___ Х2 У2 _ Х1 У 2 _ Х2 У\ _ J у-Т у' 1 Q4
q b с " ' ' ' '
то можно положить xt=b/y2 для произвольного значения у,Ф О, если Ьф 0.
В случае, который мы примем в качестве канонического, с - <7 = 0, Ь_Ф0,
имеем (IV. 19), x2=yl = 0, li = xjb и 1/хи yt = b/xlt ?1 = -^b/xj (можно
выбрать = 0).
Результаты, приведенные для R2 в § IV.4.4.2, представляют собой частный
случай общей теории для R", 2, для собственных значений, которые не
являются полупростыми. Общая теория приведена
в дополнении к этой главе.
§ IV.5. Спектральная задача и устойчивость решения и = 0 в R" Полагая в
(IV.3) v = е0(х, находим, что
А(р)-х -стх, (IV.20)
где
o(|T) = i(p) + tri(|T) (IV.21)
- собственное значение А(р), если х=?^0. Скажем, что и = 0 устойчиво на
основе критерия спектральной задачи, если ?(р)<0 для всех собственных
значений ст(р,), и неустойчиво, если существует а, удовлетворяющее
(IV.20) с х^0, для которого | (р) > 0. Присоединенная задача о
собственных значениях описывается уравнением (IV.8).
§ IV.6. Узлы, седла и фокусы
В R2 х-двумерный вектор, а А (р)-(2 х 2)-матрица. Предположим, что о, и
ст,- простые собственные значения А (и). Существуют два собственных
вектора. Пусть хх-собственный вектор, соответст-
56
ГЛАВА IV
вующий собственному значению о1, а х2-собственный вектор, отве-
На основе (IV.22) можно построить на плоскости картину геометрических
свойств равновесных точек. Следует рассмотреть три случая.
(1) оу(р) = |у(р) суть вещественные и ?Др) и |а(р) имеют один знак. По
построению v1 и va - вещественные независимые векторы.
Рис. IV.1. Траектории вблизи равновесной точки в R2 для вещественного о j
(р) (а) Устойчивый узел; (б) Неустойчивый узел; (в) Седло.
Если (р) и |а (р) отрицательные, то vt и va стремятся к 0 и тогда О
называется устойчивым узлом. В другом случае v, и va покидают О и 0
