Элементарная теория устойчивости и бифуркаций - Йосс Ж.
Скачать (прямая ссылка):
нулевому решению u = 0 (IV. 1), исследуем эволюцию возмущения v решения и
= 0, которое в линейном приближении удовлетворяет уравнению
g = fa(p,0|v) = A(p)-v (IV.3)
или, с учетом соглашения о повторяющихся индексах,
^ = А//(р)ц/. (IV.4)
Устойчивость решения и = 0 по отношению к малым возмущениям зависит от
собственных значений матрицы А (р) (см. § IV.3). Нас особенно интересует
случай, когда А (р) есть (2 х 2)-матрица (cm.§IV.2). Однако лучше начать
с более общего случая.
БО
ГЛАВА IV
§ IV. 1. Собственные значения и собственные векторы (яХя)'матРиЦы
Пусть А(р) есть (яхп)-матрица с вещественными элементами Ац (р). Пусть х,
у суть n-мерные векторы, возможно, с комплексными компонентами.
Система линейных однородных уравнений
А-х = стх, или AtjXj = axj (IV.5)
имеет ненулевое решение х тогда и только тогда, когда о = есть корень
полинома
Я (а) = det [А-<т1] = (- l)n (а-at) (о-ст2) ... (о-ст") = 0,
где I-единичная матрица с элементами 6,^, ог(/=1, ...,п)-собственное
значение матрицы А, а х, решение уравнения А¦х = а1х,- собственный
вектор.
§ IV.2. Алгебраическая и геометрическая кратности, индекс Риса
Определим рг как число повторяющихся значений аг в Я(ст) = = 0; цг
называется алгебраической кратностью о,. Это есть порядок нуля ог
полинома Р(о) = (о-аг)1;Я(о) = 0, Р(ог)=^0; а, есть простое собственное
значение А, если цг= 1.
Определим tit как число линейно независимых собственных векторов,
соответствующих собственному значению at\ nt называется геометрической
кратностью стг.
Всегда существует п комплексных значений о, для которых по лином (степени
п) Я(ст) = 0. Конечно, некоторые (или все) из этих значений могут
повторяться. Существует один и только один собственный вектор,
соответствующий каждому простому собственному значению. Если собственное
значение повторяется, то существует по крайней мере один собственный
вектор и самое большее рг линейно независимых собственных векторов, т. е.
Индекс Риса уг собственного значения ot можно определить как наименьшее
целое число, такое, что две системы
(A-oiI)v' х = 0, (A-o/I)v'+1 х = 0 (IV.6)
имеют одни и те же решения х. Если рг = лг, то уг=1 и говорят, что ot-
полупростое собственное значение. Если индекс Риса больше
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В ДВУМЕРНОМ И W-MEPHOM СЛУЧАЯХ 5)
единицы, то число собственных векторов меньше числа повторяющихся корней
и необходимо ввести понятие обобщенных собственных векторов (см. § IV.4)
*).
§ IV.3. Присоединенная задача на собственные значения
Определим теперь скалярное произведение
def ___ ______
<х, у> = х • у = <у, х>, (IV.7)
где черта обозначает комплексную сопряженность. А*-матрица,
присоединенная к А, если <х,_А-у> = <А*-х, у> для всех х, у 6 С".
Поскольку
<У, А-х> = г/,.А,7х/ = (Аг)у,г/(-л:/ = <А7'-у, х>,
то заключаем, что А* = АГ, где Аг-матрица, транспонированная по отношению
к А. Если бы элементы А были комплексными, то мы нашли бы, что А* = А^.
Отметим теперь, что
<У, (А-оТ)-х> = <(Аг-о1)-у, х> = 0
для всех у?Сп, если х-решение (IV.5), и для всех х?Сл, если у - решение
уравнения Агу = сту или
Аг-у = сту. (IV.8)
Поскольку
det (Аг-al) = det (А-al) = Р (а),
то присоединенная задача на собственные значения имеет то же самое
множество собственных значений.
Пусть xj и уj соответствуют собственному значению aу. Тогда" сравнивая
(IV.5) и (IV.8), получаем
(СГу- СТД<Х/, уу> = (Ц/ - Oj) X/ • уу =
= (А • х7) -уу-х/-(Аг-уу) =
= <А-X/, уу> -<х;, Аг-уу> = 0,
*) Обобщенные собственные векторы часто связывают с матрицами жордано-вой
формы, которые не приводятся к диагональному виду. Мы дадим теорию этих
векторов в R2 (настоящая глава) и в R" (дополнение IV. 1). Обобщенные
собственные векторы играют важную роль в теории линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений. Они соответствуют "секулярным" решениям (см.,
например, Coddington Е., Levinson Е. and N., Theory of Ordinary
Differential Equations (McGraw-Hill, 1955, Chapt. 3) [Имеется перевод:
Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных
уравнений. - М.: ИЛ, 1958.J
52
ГЛАВА IV
так что каждый собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному
значению (Т/, ортогонален каждому собственному вектору Аг, который
соответствует собственному значению ст./, если
Следовательно,
Если a/ = aj полупростое с алгебраической кратностью р; = /л, то
существуют Ц) = т линейно независимых собственных векторов и
присоединенных собственных векторов у/у, которые можно выбрать так, чтобы
Поэтому биортогональные базисы можно выбрать на подпространстве,
натянутом на и.( = т собственных векторов, соответствующих полу-простым
собственным значениям. Нельзя выбрать биортогональные базисы собственных
векторов, если индекс Риса для больше единицы (см. дополнение IV. 1).
Если А = Аг, то задача на собственные значения является самосопряженной.
Собственные значения самосопряженных операторов являются вещественными и
полупростыми (см. дополнение IV. 1).
§ IV.4. Собственные значения и собственные векторы (2 х 2)-матрицы
